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第六章 定积分应用 定积分的元素法 定积分在几何学上的应用 定积分在物理学上的应用 定积分的几何应用 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 Ｏ x y 第三节 定积分在物理学上的应用 定积分物理应用之一 变力沿直线作功问题 从物理学知道，若物体在作直线运动过程 中受常力 作用从a移至b（力的方向与物体运动方向一致），力对物体所作的功为 问题的提出： a b 若 为变力，力对物体所作的功W=？ 解: 在上述移动过程中，电场 例1　带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点，求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。　　　　　 　　　　　　 如图建立坐标系： a b o r q0 q1 对q1作用力是变化的。 (i)取r为积分变量，则 (ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr] 的功元素 (iii)所求功 解: 等温条件下，压强p与体积V的乘积为常数，即 pV=k 而 F=pS 例2　在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S）从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。　　　　　 　　　　　　 如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。 a b 注意到气体膨胀过程中V=V(x)即F=F(x),故采用元素法。 (i)取x为积分变量，则 (ii)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx] 的功元素 (iii)所求功 o x x x+dx 解: 如图选取x轴。 (i)取x为积分变量，则 (ii)相应于[0,5]上任一小区间[x,x+dx] 的一薄层水的重力为 (iii)所求功 例3　一圆柱形的储水桶高5米，底圆半径3米，桶内盛满了水。问把桶内的水全部吸出需作多少功？（水的比重为　　　　　 　　）　　　　 这薄层水吸出桶外需作之功近似为 x 3m 5m o x x+dx 解: 如图建立坐标系。 (i)取x为积分变量，则 (iii)所求功 (ii)相应于小区间[x,x+dx] ，对应薄片由A升至B在水中行程为 r+x,在水上的行程为2r-(r+x)=r-x 。 思考练习　半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同。欲将球从水中取出，需作多少功？（水的比重为?） 　　　　 由于球的比重与水相同，薄片所受浮力与重力合力为零，不作功 ，由水面再上升到B时需作功，即功元素 y x o r A B 2r 定积分物理应用之二 水 压 力 从物理学知道，在水深为h处的压强为 问题的提出： 若平板铅直放置在水中，平板一侧所受的水压力P=？ p=?h（?为水的比重）。 x h A 因此，一面积为A的平板水平放置在水深为h处时，其一侧所受的水压力为 定积分元素法 问题的解决方法： 设平板铅直位于液体中形状如图。 距离液面x、高为dx、宽为f(x) 的矩形平板所受压力的近似值，即压力元素为 以液面为y轴，x轴铅直向下。 x y o a b y=f(x) 所求压力 x x+dx （?为液体比重） 解: 依题意，如图建立坐标系。则端面周界方程为： (i)取x为积分变量，则 (iii)所求压力 (ii)相应于[0,R]上任一小区间[x,x+dx] 的窄条上各点压强 例4　一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（如图1）。设桶的底半径为R，水的比重为?，计算桶的一个端面上所受的压力。　　　　 x x+dx x y o R ，窄条面积近似于 ，即压力元素为 解: 如图建立坐标系,则腰OB的方程为： (i)取x为积分变量，则 (iii)所求压力 (ii)相应于[0,6]上任一小区间[x,x+dx] 的窄条上各点压强 例5　一个底为8cm，高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受的压力（水的比重为?）。 　　　　 窄条面积