具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形.pptVIP

[19] 周航,柳卫东.次幂等矩阵的代数等价与相似.西南民族大学学报 (自然科学版),2008,34(02):229- 230. [20] 周航,樊旭辉.次幂等正交矩阵集中的等价关系.纺织高校基础科学学报,2008,21(02):255-256. [21]林维,黄玉笙,陈梅香,杨忠鹏。关于“次幂等矩阵和矩阵的正交性”的注记，广东石油化工学院学报，2011,21（6）：60-63 [22]陈梅香, 林维,杨忠鹏?（通信作者）。幂等矩阵的代数等价与正交的一些性质，数学研究，2012年45卷1期:58-65 [23]R.A.Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis.New York:Cambridge University Press,1985. * * 具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形 杨忠鹏 陈梅香 一、问题的来源 1. 教学 2. 学生毕业论文选题 3. 考研试题 二、问题的内容 近年来，J.koliha[1] 和 Y.Tian[2,3]等一批学者对幂等矩阵的性质进行了深刻的研究，他们探讨了两个幂等矩阵的和、差、乘积、换算子、线性组合的等一系列的秩等式关系，并得到了在约束条件 下幂等矩阵的线性组合的可逆性与组合系数a,b选择无关的结果。 1. 若A2=A，则称A为幂等矩阵。 文献[5]研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性. 文献[6]利用秩的恒等式来判定矩阵的幂等、3幂等或m幂等性. 文献[7]讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可 逆性. 2.若 A3=A，称 A为三幂等矩阵。 m幂等矩阵的研究引起很多人的关注： 文献[8-10]讨论了m幂等矩阵的线性组合的幂等性, ［11，12］研究了m幂等矩阵的一些代数性质. 　　由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否有一个统一的形式？ 三 问题的解决 定义1与[13]的(m,l)幂等矩阵的规定相同，[13]还研究了(m,l)幂等矩阵性质与判定，如： 这说明作为本质(m,l)幂等矩阵判定的充分必要条件的命题2和3都不成立.[15]应用最小多项式来刻划本质(m,l)幂等矩阵的两个充要条件都是不成立的.出现问题主要原因，可能在于没有从内部结构上把握这类矩阵特点. 从[16，命题5]和[15,定理7]可得应用矩阵秩的恒等判定(m,l)幂等矩阵的充要条件.事实上，要得到为本质(m,l)幂等矩阵的结果，与[14-16]相比不仅要求Am=Al，还要证明m是这个等式成立的最小正整数. 由[14,引理2.1]知A∈Fn×n的幂等性与数域的扩大无关, 因此问题可归结为A在复数域上的Jordan标准形的幂等性.这样 总设A∈Cn×n，满足 我们在[18]中应用矩阵A∈C n×n的Jordan标准形得到了 本质(m,l)幂等矩阵的特征刻画. 作为应用，可给出本质m对合、 本质m幂等矩阵的充要条件. 四、进一步的讨论 在[19]、[20]和[11]等关于含幺结合环上的k次幂等矩阵正交 与代数等价的讨论基础上，最近[12]研究了数域F上的相关情况， 使得讨论深入到了特征多项式和特征值等矩阵理论的核心问题。 我们在文献[22]中应用数域上(m,l)幂等矩阵与m幂等矩阵的 关系，得到了数域上(m,l)幂等矩阵的l次方幂的代数等价、相似 和特征多项式相等是互为确定的结论。 参考文献 [1]J.J.KoliHa，V.Rakocevic,Sttaskraba.The difference and sum of projectors. Linear Algebra Appl. 2004，8：1-10. [2]Y.G. Tian,G. P.H.Styan.Rank equalities for idempotent and involutory matrices. Linear Algebra Appl.. 2001 ，335 :101-117. [3] Y.G.Tian,G.P.H.Styan Rank equalities for idempotent matrices with applications.Journal of Computional and Mathematics. 2006，191 ：77-97. [4] J.K. Baksalary, O.M. Baksalary, Nonsingularity of linear combinations of idempotent matrices, Linear Algebra Appl.2004，388 ： 25–29 [5] J. K Baksalary，O.M.Baksalary