函数的单调与导数3课时.pptVIP

* * 函数的单调性与导数 第3课时 函数的极值 与 导 数 下图为函数y＝f(x)的图象： B A O x y a b 点A处的函数值比其附近点的函数值都小； 点B处的函数值比其附近点的函数值都大. （1）在点A，B处的函数值与其附近的点 的函数值分别有什么关系？ 函数极值的有关概念 B A O x y a b （2） f(x)在点x=a，x=b处的导数值 各为多少？ B A O x y a b （3）在点x=a，x=b左右两侧的点的导 数值如何？ 在x=a附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0; 在x=b附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0. 图中点A、B分别叫做函数y＝f(x)的极小值点和极大值点，并统称为极值点. B A O x y a b A处的函数值f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值，点B处的函数值f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值，极大值和极小值统称为极值. 函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有的点，都有 （1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x) 的极小值； （2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x) 的极大值； B A O x y x0 x0 练习：1、下列函数图象中有多少个极值点？其中有几个极大点？ O x y 5个极值点，其中有3个极大值点. 2、函数的极大值都比极小值大吗？ 不一定 O x y A B 函数极值的判定原理 1：下图中，在极大值点A左右两侧函数的单调性分别如何？ 在x0附近，当x＜x0，x＞x0，x＝x0时， f′(x0)的取值如何变化？ A y＝f(x) O x y x0 左侧递增，右侧递减. 2：从导数的角度分析，一般地，对于函数f(x)，在什么条件下f(x0)是极大值？ A y＝f(x) O x y x0 在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值. 3：下图中，在极小点值点B左右两侧函数的单调性分别如何？ 在x0附近，当x＜x0，x＞x0，x＝x0时， f′(x0)的取值如何变化？ B y＝f(x) O x y x0 左侧递减，右侧递增. 4：从导数的角度分析，一般地，对于函数f(x)，在什么条件下f(x0)是极小值？ B y＝f(x) O x y x0 在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值. 5：函数f(x)在极值点的导数一定为0吗？导数为0的点一定是极值点吗？ 可导函数在极值点的导数一定为0，导数为0的点不一定是极值点（可疑点）. 练习:判断正误： 1.可导函数的极值点的导数值必是0； 2.导数为0的点必是极值点； 3.同一函数的极大值必大于极小值； 4.极值点左右的单调性必发生改变. √ × × √ 例1. 求下列函数的极值. 归纳方法 用“导数法”求函数极值的步骤： 1.求函数 的定义域 ； 2.求出函数的导数 并分解因式； 3.列表（定义域、导数符号、函数单 调性与极值判断） 例2、已知函数 在x=1处取得极值2，求f(x)的所有极值. 例3、已知函数 有极大值和极小值，求实数a的取值范围. 例4、已知函数 的图象与 函数 的图象相切， 记 . (1)求实数 b 的值及函数F(x)的极值; (2)若关于 x 的方程F(x)=k 恰有三个不 等的实数根，求实数k的取值范围. 小结作业 1.函数的极值刻画的是函数的局部性质，它只能反映函数在某个局部的最大值和最小值情况，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 2.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且有多个极值点，则函数的极值点是交替出现的（如正弦曲线和余弦曲线）. 3.求函数极值的基本步骤： 求导数f′(x)→解方程f′(x)＝0→判断在根附近左右两侧f′(x)的符号→作出结论. 作业： P32—5. 《学海》第11课时 *