函数的单调与导数.pptVIP

2.导数的运算法则 * 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 * 学益教育资源网 函数的单调性与导数 （4）.对数函数的导数: （5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1 一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式 （1）．函数的和或差的导数 (u±v)/＝u/±v/. （3）．函数的商的导数 （ ） / = (v≠0)。 （2）．函数的积的导数 (uv)/＝u/v+v/u. 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 y x o a b y x o a b 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。 G 称为单调区间 G = ( a , b ) 二、复习引入: 引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？ 观察下面四组函数图像，判断导数与单调性的关系。 三、新课讲解: 我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y= f(x)的导数. 从函数y=x2-4x+3的图像可以看到: y x o 1 1 －1 在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(2, +∞)内为增函数. 在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数. a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内 0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. 由上我们可得以下的结论: 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数. 解: 由2x-20,解得x1,因此,当 时,f(x)是增函数; 令2x-20,解得x1,因此,当 时,f(x)是减函数. 例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性. 解:f (x)=3x2-12x+9 令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当 或 时, f(x)是增函数. 令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当 时, f(x)是减函数. 故f(x)在(-∞,1)和 (3,+∞)内是增函数, 在(1,3)内是减函数. 1 0 ?3 3 1 y x 而我们可以从右边的 函数的图象看到上面的结论是正确的. （一）利用导数讨论函数单调性的步骤: (1):求导数 (2)解不等式 0得f(x)的单调递增区间;解不等式 0得f(x)的单调递减区间. 练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间. 答案:递增区间是 和 ;递减区间是(-2,1). 例1、求函数f(x)=x–㏑x的单调区间 解： 四、综合应用: 例1:确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx; 解:(1)函数的定义域是R, 令 ,解得 令 ,解