勾股定理3---勾股定理的证明.pptVIP

18.1 勾股定理（3）---勾股定理的证明 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。下面我们一起学习几种证明勾股定理的方法。 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a2+b2=c2 b2 c2 a2 赵爽的“弦图” 早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用左边的图形验证了“勾股定理”。 在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 思考:你能验证吗？ 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。 赵爽弦图 朱实 朱实 朱实 C c A B a b a b c 朱实 C2= (2× ab） + (a-b)2 a2+b2 = 2 × (4) (3) (2) (1) (1) (2) (3) (4) c c c c (a-b)2 (a-b)2 C2－4× ab = a2 + b2 = c2 可得： a2+b2－2ab = c2－2ab b C a 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？ 证法一 b a b a b a b a c c c c 大正方形的面积该怎样表示? (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab = c2+2ab 可得: a2 + b2 = c2 证法二 　　 在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。 证 法 3 (a + b)(b + a) = a2 + ? a2 + b2 = c2 a a b b c c 伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。 ∟ ∟ ∟ c2 + 2( ) + ab + b2 = c2 ab ab ? a2 + b2 = c2 a2 b2 a2 c2 毕达哥拉斯证法 证 法 4： 你还想知道勾股定理的其它证法吗？ 请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮了。 作业：P70---71 7、8、9、10。