十一章多元函数积分学.pptVIP

第十一章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与计算 第二节 二重积分的概念与计算(续) 第三节 二重积分应用举例 于是得的幂级数展开式 类似地，还可以得到下述函数的幂级数展开式： （-1，1） 当m为实数时， 它的收敛半径R=1，在 处展开式是否成立，要根据m的数值，看右端级数是否收敛而定. 例如 当m =-1时 (-1,1) (2)间接展开法 间接展开法是指从已知函数的展开式出发，利用幂级数的运算规则得到所求函数的展开式的方法. 例3 将函数 展开成x的幂级数 解 已知 （-∞，+∞） 而 利用逐项求导公式，得到 （-∞，+∞） 例4 将函数 展开成x 的幂级数 解 已知 （-1，1） 将上式从0到 x 逐项积分，得到 这个级数的收敛半径R=1 当x＝1时，右端级数成为 这个级数是收敛级数. ?当x＝-1时，右端级数成为 这个级数是发散级数. 因此 定理5 绝对收敛的级数必是收敛的. 事实上，如果 收敛， 由于 ≤ ≤ 故从性质1及性质5知 也是收敛的. 例7 判定级数 的敛散性. 解 因为 ≤ ， 而级数 收敛，故由比较判别法可知级数 收敛，从而原级数 绝对收敛. 例8 判别级数 的敛散性，说明是否绝对收敛. 解 因为 故由比值判别法可知级数 收敛，所以原级数 绝对收敛. 例9 判别级数 是否绝对收敛. 解 因为 故由比值判别法可知级数 发散，从而原级数 不是绝对收敛. 例10 证明级数 条件收敛. 证 由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而 为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛. 第二节 幂级数 一、幂级数的概念 1.函数项级数 如果级数 ( 11.2) 的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数（2.2）为函数项级数，un(x)称为一般项或通项. 当x在I中取某个特定值 时，函数项级数( 2.2）就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收敛点。若发散，则称点 为这个级数的发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域. 对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的和是 x 的函数 S(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数，即 其中 x 是收敛域内的任一点. 将函数项级数的前项和记作 ，则在收敛域上有 2.幂级数的概念 形如 (11.3) 的函数项级数，称为 的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数. 当