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十三章轴对称课题学习最短路径问题
第十三章 轴对称课题学习 最短路径问题 湖北省通山县教育局教研室 袁观六 八年级 上册 创设问题情境 问题1 如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由. 两点之间,线段最短 问题2 如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两村供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短? 连接AB,线段AB与l的交点即为泵站修建的位置 P 创设问题情境 问题2 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 将实际问题抽象成数学问题 精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗? 将实际问题抽象成数学问题 (1)将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线. (2)在直线l上找到一点C,使AC与BC的和最小? 将实际问题抽象成数学问题 B′ 问题4 如图,点A,B在直线l的同侧,在直线l上找到一点C,使AC与BC的和最小? 解决数学问题 作法: (1)作点B 关于直线l 的对称 点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交 于点C. 则点C 即为所求. C 证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接AC′,BC′,B′C′. 由轴对称的性质知, BC =B′C,BC′=B′C′. ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′, AC′+BC′ = AC′+B′C′. 在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′.即AC +BC 最短. B′ C 证明AC +BC “最短” 问题5 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗? C′ 追问1 证明AC +BC最短时,为什么要在直线l 上任取一点C′(与点C不重合),证明AC+BC<AC′+BC′? 若直线l 上任意一点(与点 C 不重合)与A,B 两点的距离 和都大于AC +BC,就说明AC + BC 最小. B′ C C′ 证明AC +BC “最短” 追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的? B′ C C′ 利用轴对称,把直线l 同侧的两点,转化为直线l异侧的两点,再利用“两点之间,线段最短”画图. 证明AC +BC “最短” 巩固练习 练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返 回P 处,请画出旅游船的最短路径. 归纳小结 (1)本节课研究问题的基本过程是什么? (2)轴对称在所研究问题中起什么作用? 教科书复习题13第15题. 布置作业
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