中考数学总复习 第15讲 直角三角形（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）（含解析） 北师大版.docVIP

第15　直角三角形 考纲要求 备考指津 1.了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定． 2.掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 　　直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，主要考查以下几个方面：(1)由直角三角形的三边关系来求解有关线段的长度；(2)由给定的线段长确定三角形的形状；(3)运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题． 考点一　直角三角形的性质 1．直角三角形的两锐角互余． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 考点二　直角三角形的判定 1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形． 2．有两角互余的三角形是直角三角形． 3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝__________. 2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(　　)． A．3,4,5　　　B．6,8,10C．，2， D．5,12,13 一、勾股定理 【例1】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 解：设CD＝x，由折叠得△ACD≌△AED． ∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x. 在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝＝＝10(cm)． ∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm， 在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2. ∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3 cm. ∴CD的长为3 cm. 直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边． 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长． 二、勾股定理的逆定理 【例2】 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积． 解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝5， 在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5， ∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝AB·AD＋BC·BD＝×3×4＋×12×5＝6＋30＝36. 三、勾股定理的实际应用 【例3】 如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可看为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？ 分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解． 解：设E站应建在距A站x km处， 根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解之得x＝6. 所以E站应建在距A站6 km处． 1．(2012广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)． A． B． C． D． 2．(2011安徽)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 3．(2011黑龙江哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝2，则BE的长为__________． 4．(2011山东日照)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． (1)求证：DE平分∠BDC； (2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD． 1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)． A．b2＝c2－a2B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠C＝∠A－∠BD．∠A∶∠B∶∠C＝12∶13∶15 2．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是(　　)． A．5 B．25C．5或25 D．无法确定 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知BC＝8，AC＝6，则线段CD的长为(　　)．