十四章Polya计数法14置换群于对称群.pptVIP

当G为有限集时，称(G，*)为有限群；若G为无 限集， 则称(G，*)为无限群。有限群中G的基数 |G| 常称为群的阶数。 为了不失一般性，令集合X={1, 2, …, n}到自身的一个双射函数f: X→X称为一个n次置换，记作： 可以看出，通常情况下合成运算交换律不成立： f 。g ? g 。f 我们通常用幂运算来表示一个置换与自身的合成运算： f 1 =f , f 2 = f 。f , f 3 = f 2。f , f 4 = f 3。f ,…… f k = f 。f 。f 。f 。……….. 。f 。f (k个) 故正方形的角点构成的对称群是： 可以验证，它们中有下列关系： 那么我们又可以修改对称群为： 同理，我们用边的标示a,b,c,d替换点对称后也能得到边对称群。 的元素可产生四个循环: (132), (4), (5), (6)。 置换常记为若干循环的乘积形式，且如不记顺序，这种表示还是唯一的。 例如, f 可记为f=(132)(4)(5)(6)，或更简单的记作f=(132); 这种记法是默认没有出现的元素与自身进行对应，该记法对于直接计算若干置换的乘积是很方便的。 设有如下置换： f=(134)(26); g=(152)(364) ; h=(1456) 则 总 结 本次课我们复习置换及其置换群的有关知识，并且增加了置换中的循环等概念。 置换群在“离散数学”中讲了一点，这里再学习是为下几次课打基础。 本次授课到此结束 作业如下: P375 1, 11 1. 设 求：1) f 。g ； g 。f ; 2) f -1, g -1 ； 显然易见， 四面体群的阶是12。类似的还有 正六面体、正八面体、 正十二面体及正20面体群。 例(10阶二面体群) 如图所示，正五边形的顶点标示以1,2,3,4,5。它的对称群 包含5个平面旋转和5个 空间翻转，它们分别是： 1 4 3 2 5 置换中的循环 循环与对换 设X={1,2,…,n}, X上的任一置换f都联系着一个有向图G=(X, E)，其中i, j∈X 时, (i, j)∈E当且仅当 f(i)= j。即X上自身元素的对应。 由于f是从X到自身的双射函数，故对i∈X，其入度和出度都是1。考察序列 i , f (i), f 2(i), …, f m(i) = i。(循环对应 ) 例如： X = {1,2,3,…8 }, X上的置换关系 f 是： 其中取对i = 1 ，就有： f (i) =f (1) = 6； f 2(1) = f(f (1)) =f (6) =3; f 3(1) = f(f 2(1)) =f (3) = 5; f 4(1) = f(f 3(1)) = f (5) = 1;再合成下去已经构成循环。再取对i = 2 ，又有： f (i) =f (2) = 8； f 2(2) = f(f (2)) =f (8) =7; f 3(2) = f(f 2(2))=f (7) =2;再合成下去又构成循环。……… 图的顶点关系替代对应关系, 起点是i, 终点是通过置换得到的 f(i) ：由有向图或者置换关系能够看:1?6?3?5?1；我们可以将这个小循环记为(1 6 3 5) (无间隔点) 1 6 7 2 4 3 8 5 对一般的:称i, f(i), f 2(i), ….…, f m(i)= i是置换 f 的一个循环， 记作: (i f (i) f 2(i) … f m-1(i)) m常称为该循环的长度。长度为2的循环又称为对换或换位。显见，由 f 决定的有向图G=(X, E)的每个连通分支是一个循环，且 f 的所有不同的循环够成集合X的一个划分，两个循环中没有相同的元素称为循环不相交。  设: 取蓝色框的元素观察：1→3→2→1；取链中不同 -5 -2，-3 f 。g 。h=(134) (26) (152) (364) (1456) 可以肯定地说(f 。g 。h)也是一个置换,该置换能被几个循环划分; 先看数字1，