淺谈高考数学中求多元函数最值方法与策略.doc

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淺谈高考数学中求多元函数最值方法与策略

浅谈高考数学中求多元函数最值方法与策略 金坛市金沙高级中学 宫鸡明 【摘 要】多元函数的最值问题能充分考查学生的知识迁移能力、探究创新能力。它涉及的知识面广、难度大, 解决这类问题方法灵活多样、技巧性强,要求解题者有较为深厚的数学功底。 【关键字】多元函数最值 方法 策略 在高中数学高考考纲中明确指出:对数学能力的考查,以逻辑思维能力为核心,全面考查各种能力,强调考题必须具有探究性、综合性、应用性。而多元函数的最值问题能充分考查学生的知识迁移能力、探究创新能力,是高中数学教学中的一类难题。它涉及的知识面广 、难度大, 解决这类问题方法灵活多样、技巧性强,要求解题者有较为深厚的数学功底,成为在高考难点和是数学竞赛的热点问题。 为此,归纳出求多元函数最值的一些方法,帮助学生解决求多元函数最值找到一条正确的途径。 1、配方法 例1:求的最小值。 解: = = 当2x+y=1,y=2,即当x=,y=2 时,有最小值5 小结:形如的最值可以用配方法凑成的形式。当时,才可以用这种方法求最值。 例2:若x ,y 为实数,且,则的最大值和最小值分别为 _ 。 解: =()+ =1+1. 当x =y 时, 取得最小值 1。 另一方面, =3()—9, 当x = y 时,取得最大值 9。 2、换元法 换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变量去代替原来的部分( 或全部) 变量或改造原来的式子,利用新元架起未知通向已知的桥梁。换元的实质是转化, 目的是化繁为简、化生为熟,使问题易于解决,其关键是构造元和设元。换元的方法有: 局部换元、 三角换元、 均值换元等。换元时要尽可能地用新元把分散的条件联系起来, 把隐含的条件显露出来。换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛解题方法和技巧, 通过换元可以使复杂问题简单化,使一些看似“一筹莫展”的问题 变得“柳暗花明”。 例3、已知 f (x )=是偶函数 , 则 函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 解: f (x )=是偶函数 =0 又函数图象与y轴交点的纵坐标为 设a=,b=, 则 例4:设a,b,c 0,求=的最小值。 解: 令 , 则 = = 即。 由于给出的关于a,b,c的函数表达式比较复杂,特别是分母,但通过本题的换元简化了分母,当把表达式整理成关于x,y,z的解析式后,其结果水到渠成。另外,特别注意换元后的新元的取值范围不一定是任意的,题设条件或其自身将可能影响新元的范围,这正是很多使用换元法解题不正确的原因所在。 3、利用基本不等式----放缩法求最值 例5:若 x , y , z都是正实数,且=1,则的最小值是 解:由基本不等式得: = , 于是 =+2() 3()=3 3,等号成立当且仅当 x=y=z=。 即当x=y=z=时,取最小值 例6、设实数 a ,b 满足条件, a=,b=, ,求P=的最大值. 解:a=3=3 a3 = = =3ab, a3b, 得P= === 当且仅当,a=3,a=3b时等号成立, 即=,a=3,b=时, P=有最大值。 4、待定系数法求最值 例7:设实数x,y满足求f (x,y )= 的最大值 解:引入参数,,使=, 解得= —1,=2,故=, 由于 则,故f (x,y )的最大值为27 例8:已知求函数的最大值和最小值。 解:令=, 比较两边的系数可得a=1,b=2,c=3.分别用1、2、3、乘以 已知三个条件,得, 此时三个式子相加得即, 故的最大值和最小值分别为47和. 5、数形结合法 数形结合,就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含“以形助数” “以数解形”两个方面。一方面,许多数量关系的抽象概念和解析式, 若赋予其几何意义, 往往可以变得非常的直观、形象;另一方面,一些图形的属性又可以通过数量关系的研究使得图形的性质更丰富、 更精确、 更深刻。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来。它兼有数的严谨与形的直观之长, 利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化, 是优化解题过程的重要途径之一。 例9:如果实数x ,y 满足3x+2y—10,那么u=的最小值是 。 解: u==表示半平面3x+2y—10 中的点到定点( , 1 ) 的距离的平方与 1 0 的差, 由于半平面3x+2y—10中的点到定点 (, 1 ) 的距离的最小值是, 所以u的最小值为:—10= 例10、 设 0 u , v 0, 求 s = 的最小值。 解:设P(u,),Q(v,), 则s

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