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例3：解方程 sinz=2 令 w=eiz 则 w2-4iw-1=0 例5: 计算下列数值 等比数列 * * 平面点集的基本概念： 复数的集合，对应复平面上的若干点，记作E 为了更好的理解复变函数的定义，我们需要了解以下概念： 点集： §1.2 复变函数 区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开区域等。 域：连续的、不间断的点的集合。 邻域 以复数z0为中心，以任意小正实数ε为半径作一圆，则圆内所有点组成的集合，称为z0的邻域。 |z-z0| ε 邻域内， |z-z0|＝ε 邻域边界， |z-z0|ε 邻域外 z0 z0 （去心邻域） 内点、外点与境界点： 内点：若z0及其邻域均属于点集E，则称z0为该点集的内点； 外点：若z0及其邻域均不属于点集E，则称z0为该点集的外点； 境界点：若在z0的每个邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称z0为该点集的境界点，境界点的全体称为境界线。 境界点 内点 外点 境界线 E z0 区域：具有下列性质的非空点集D称为区域 1.开集性：D中的每一点z0，其邻域的所有点都属于D，即D全由内点组成； 2. 连通性：D中任意两点都可用一条由D内的点构成的折线连接。 D p z2 z1 区域D与其境界线所组成的点集称为闭区域，用 表示。 设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线，或称约当曲线），而曲线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称为复连通区域。 B 单连通域 B 复连通域 单连通域与复连通域： x y O R x y O R x y R O r x y R -R O x O y 例： ?1 x O y 其中z称为w的宗量，E称为函数f(z)的定义域，相应w的全体称为值域（F）。 复变函数的定义： 对复平面上的点集E（可以是区域，也可以是一般的点集）中的任一点z，按某一规律，有一个或多个复数值w与之对应，则称w为z的函数，记作 说明： 1. 复变函数是以z=x+iy为复变数的函数，它与数学分析密不可分，研究的中心对象是解析函数，解析函数具有独特的性质和重要的应用。 2. 如果z的一个值对应着w的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值函数；如果z的一个值对应着多个w的值，那么我们称f(z)是多值函数。 3. 复变函数与实变函数的关系 记f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)、v(x,y)为实变函数，则复变函数可以视为一对二元实变函数。因此，实变函数中的一些定义、公式、定理都可以移植到复变函数中。 例如：w=z2+2，求u，v。 w=x2-y2+2+i2xy 则 u=x2-y2+2， v=2xy 4. 复变函数w=f(z)可以看作是z平面到w平面上的一个映射。 如果用z平面表示自变量z的值，用另一复平面表示函数w的值，则函数w=f(z)可看成是把z平面上的点集E变到w平面上的一个点集F（函数值集合）的一个映射，称为由函数w=f(z)所构成的映射。w称为z的像，z称为w的原像。 w=f(z) 例：求0＜φ＜π，0＜ρ＜1 , 经w=iz变换后在w平面上的图形。 z平面 w平面 原像 z w 像 w=f(z) 映射 映射（映照）的种类： 1. 一一映照：如果对于任意z1，z2∈D，z1≠z2，w1=f(z1)≠w2=f(z2)，即w=f(z)为单值函数，双方单值映照。 2. 一个w可能有几个原像。 如w=z2 ，z=±1→w=1 3. 一个原像对应几个像点，如多值函数 。 几种常见的复变函数 1. 多项式 （n为正整数） 2. 有理分式 （n、m为正整数） 3. 根式 （多值函数） 根式函数 其中z=ρeiφ，k=0,1，φ是主辐角 根式函数是多值函数 也记作 例如： 4. 指数函数 5. 三角函数 性质： 周期性，有实周期2π 非有界函数，模可以大于1 三角函数的周期性 cosz 同理，所以，复三角函数是以2π为周期的周期函数 复三角函数的模： 注意：当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。 同理，可求出|sinz| 当虚部y趋于无穷时,|sinz|和|cosz|也趋于无穷 例 双曲函数 性质： 以2πi为周期 6. 对数函数 性质： w=lnz，给定一个z