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复变函数与积分变换 16世纪人们在解代数方程时单纯从形式上引入了复数，后长期没有认识到其实际意义。 18世纪产生复变函数论。 19世纪复变函数论全面发展，并统治了十九世纪的数学。 复变函数论的应用涉及面很广，不但在其他学科得到了广泛的应用，而且数学领域本身的许多分支也都应用了它的理论。它将继续向前发展，并将得到更多应用。 复变函数的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。 前言 一、课时与内容安排（看课本目录） 二、参考书 三、课程介绍与引入 第一章 复数与复变函数 （2）复数的三角表示和指数表示 一、复数的代数式运算（一）分解运算（复数的四则运算定义） 复数运算的其它结果： （1） （2） （3）若 ，则 与 至少有一个为零， 反之亦然. 六、 复数的乘幂与方根运算 2.棣莫佛公式 1.3 平面点集 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 三、典型例题 需熟记的重要性质和公式 （1）复数的模的性质和公式。(p.4) （2）复数的加，减，乘，除的运算性质和公式。(p.3) （3）例1.2的公式。(p.4) （4）共轭复数的性质和公式。(p.3) （5）欧拉公式。(p.8) （6）棣莫弗公式。(p.11) （7）z乘幂公式 （8）z的n次方根公式。(p.12) （9） 思考题 （1）如何实现向量的正向或反向拉长或缩短。 （2）什么是向量的三角形法则？平行四边行法则？ （3）如何实现向量的不改变长度的旋转？改变长度的旋转？ 1. 连续曲线: 平面曲线的复数表示: 2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 4. 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的. 解 无界的单连通域(如图). 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. 表示到1, –1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. 有界的单连通域. 例2 解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域. 是多连通域. 不是区域. 单连通域. 例5 解 例6 证 四、复数积商的三角式与指数式运算 证 同理证 例1 解 复数和差的几何意义：生成平行四边形的对角线向量或三角形的边向量. 五、复数四则运算的几何意义 两个复数的加减运算得到新复数，与相应的向量加减运算得到新向量方法一致。 2. 复数积商的几何意义：向量的伸缩与旋转 两个非零复数的乘积得到的新复数，其模等于两复数模的乘积，幅角等于两复数幅角的和。 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 说明 由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如， 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: 两个非零复数的商得到的新复数，其模等于两复数模的商，幅角等于被除数与除数幅角的差。 3. 复数运算与向量运算的比较 （2）两个非零复数的积商运算与向量的数量积及向量积运算完全不同。 （有什么差别？） （1）两个复数的加减运算与相应的向量的加减运算一致。 例2 解 如图所示, 1. n次乘幂: 棣莫佛公式 3. n次方根: 根据棣莫佛公式, 推导过程如下: 当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 从几何上看, 例1 解 例2 解 例3 解 即 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 1. 邻域: 说明 2.去心邻域: 说明 3.内点: 4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集. 5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. 6.边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属