-多元函数微分学的几何应用.ppt

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 7.6.2 曲面的切平面与法线 * * 7.6 多元函数微分学的几何应用 7.6.1 空间曲线的切线与法平面 7.6.2 曲面的切平面与法线 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 1 曲面方程为参数式 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 例1 及法平面方程. 解 切线方程为 法平面方程为 即 应的参数t =1, 所以 空间曲线方程为 法平面方程为 2 曲面方程为一般式 切向量 空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 切向量 解 例2 在点(1,1,1)处的切线方程与法平面方程. 求曲线 将所给方程的两边对x 求导并移项，得 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 在曲面上任取一条通过点M的曲线 上任何一条过点M0的曲线在点M0处的切线都在同一平面上,则称这个平面是曲面在点M0处的切平面. 设M0(x0, y0, z0)是曲面 上一点,如果曲 面 定义7.8 由于曲线 完全在曲面 所以有恒等式 上, 上式对t 求导数, 并代入 t = t0, 得 令 曲线在M处的切向量 则 由于曲线是曲面上通过 的任意一 条曲线， 它们在 的切线都与同一向量 垂直， 故曲面上通过 的一切曲线在点 的切线都在 同一平面上， 这个平面就是曲面在点 的切平面. 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 定义7.9 通过点M0(x0, y0, z0)而垂直于切平面 的直线称为曲面在该点的法线. 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 z=f (x,y)在(x0, y0)的全微分，表示曲面z=f (x,y)在点(x0, y0, z0)处的切平面上的点的竖坐标的增量. 全微分的几何意义 切平面及法线方程. 例3 求椭圆抛物面z=x2+2y2–1在点M0(–1,2,8)处的 解 在点M0处,法向量为 所求的切平面为 –2(x+1)+8(y–2) –(z–8)=0, 即为 2x–8y+z+10=0. 法线方程为 其中 若 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的， 即使得它与z 轴 的正向所成的角是锐角， 则法向量的方向余弦为 例4 求椭球面2x2+3y2+z2=9上的点, 使该点处的切 平面平行于平面2x–3y+2z+12=0, 并写出该点的切平 面及法线方程. 解 设切点为M0(x0, y0, z0)，则法向量为 按题意, 所以有 设 则有 将其代入到椭球面方程中,有 得到 t = 当t = 2时,得切点M1(1,–1,2), 当t = –2时,得切点 M2(–1,1,–2) 在点M1, 切平面方程为 2(x–1)–3(y+1)+2(z–2)=0, 即 2x–3y+2z–9=0. 在点M2,切平面方程为 2x–3y+2z+9=0. 例5 求椭球面 上点M0(x0, y0, z0)处的切平面方程. 在点M0处,曲面的法向量为 解 切平面方程为 注意到点(x0, y0, z0)在椭球面上,其坐标应满足于椭 球面方程,故上面的切平面方程可整理为 设函数f (u)有连续导数， 的切平面必过原点. 例6 证 令 切平面方程为 即 可见，曲面的所有切平面都过点 在点M0(3, 4, 5)处的切线方程. 例7 求曲线 解 利用曲面的切平面来做. 球面x2 + y2 + z2 = 50在(3, 4, 5)点的切平面为 3x + 4y + 5z – 50 = 0， 圆锥面x2+y2=z2在(3,4,5) 点的切平面为 3x + 4y – 5z = 0. 将两个切平面方程联立 即为所求的切线L的一般式方程. *