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第五章 根轨迹方法 5-1 根轨迹的基本概念 5-2 根轨迹绘制的基本方法 5-3 典型环节根轨迹 5-4 应用根轨迹分析和设计控制系统 根轨迹的概念与绘制方法 5-1 根轨迹的基本概念 从典型的根轨迹图中，可以预测系统的性能。 利用典型的根轨迹图，可以判断特征根是否在可行域内。 5-2 绘制根轨迹 根轨迹方程 2、根轨迹的模值条件与相角条件 2、根轨迹的模值条件与相角条件 模值条件与相角条件的验证 5-2 绘制根轨迹的基本方法 Rule1 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 Rule2 根轨迹的分支数等于特征方程根的个数，即 n 阶系统有 n 条根轨迹分支。 Rule3 根轨迹连续并且关于实轴对称。 说明 （1）根据代数方程式的性质，当代数方程的某系数连续变化时，其根也连续变化。 （2）由于特征方程的系数均为实数，故特征方程的根也均为实数或共轭复数。 注意：当出现共轭根时，只需绘制实轴上方的根轨迹分支，应用镜象原理，就能得到实轴下方对应的根轨迹分支。 Rule4 根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 Rule5 根轨迹的分离点与分离角。 例5.1 设开环传递函数为 Rule6 根轨迹与虚轴的交点。 Rule7 根之和与积。当n-m2，有 Rule8 根轨迹的出射角和入射角。 Rule 9 根轨迹的渐近线。与无限零点对应，渐近线有n-m条，它们与实轴有公共的交点。交角和公共交点分别为： 例5.2 系统的开环传递函数为 解 （1）a=3, 开环极点：0,-3,-1+j,-1-j 在 [-3，-2.3] 之间，用试探法可以求得一个闭环极点： 再依据规则7，可得： （2）a=2, 开环极点：0,-2,-1+j,-1-j * * 5-1 根轨迹的基本概念 5-2 根轨迹绘制的基本方法 已经学过的时间域分析方法可以直接计算判定系统的性能。但它们都有一个缺陷，不能在参数变化时，预测系统的性能；不能在较大的范围内，给出参数优化设计的预测结果。而在实际工程中，这是非常重要的。 1948年， W.R.Evans提出了根轨迹法，满足了设计需求，成为控制系统设计的十分重要的图上设计法。 -2 -1 0 j k s(0.5s+1) K:0 ~ ∞ 图示系统的闭环特征方程为： S2+2s+2k=0 特征根：s1,2= －1±√1－2k K=0时， s1=0,s2=－2 0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? K=0.5时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,，2=－1±j√2k－1 演示rltool 看不出随k的变化速度 定义：当开环传递函数的某一参数变化时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹。 1. 预备知识 根轨迹同时涉及闭环零、极点与开环零、极点。 将传递函数写成根轨迹形式（首1），我们有： G H 问题：1、零点， 2、极点，3、根轨迹增益 特征方程 1+GH = 0 j=1 m i=1 n 1 + K = 0 ∏ ∏ ( ( s s - - zj pi ) ) pi 开环极点“×”, 也是常数！ 开环零点“○”,是常数！ Zj 根轨迹增益K ，不是常数，从0 ~ ∞变化 这种形式的特征方程称为根轨迹方程 -1 模值条件: 相角条件: 相角条件对决定根轨迹形状至关重要。 只用相角条件就能绘制根轨迹。 在指定根轨迹上的闭环极点后，用模值条件确定对应的K的取值。 模值条件与相角条件的验证 -1.5 -1 -2 0.5 -0.825 ξ=0.466 ω n=2.34 验证： s1=-0.825 s2,3= -1.09±j2.07 在根轨迹上。 -1.09+j2.07 2.26 66.27o 78.8o 2.11 2.61 127.53o 92.49o 2.072 K*= 2.26×2.11×2.61 2.072 = 6.0068 92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o 开环零、极点： z1= -1 p1= -2 p2= -1.5 p3= 0.5 S1=－1.5+j1.2553 Li k*=0.264 1.956 θi 39.9 1.352 68.3 2.361 147.9 1.352 3.718 4.672