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第二节 柯西积分定理 一、基本定理 二.原函数 三、复合闭路定理 四、典型例题 五、小结与思考 柯西资料 古萨资料 * 一、基本定理 二、原函数 四、小结与思考 三、复合闭路定理 观察上节例1, 此时积分与路线无关. 观察上节例4, 问题的提出 观察上节例5, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 柯西－古萨基本定理 定理中的 C 可以不是简单曲线. 此定理也称为柯西积分定理. 柯西介绍 古萨介绍 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立. 例如： f(z)在单连域D内沿任一闭路积分为零,从而积分与路径无关.这样,当积分的起点固定时,可定义积分上限函数 定理5 如果f(z)=u+iv在单连域D内处处解析,那么函数F(z)是D内的一个解析函数,并且 称F(z)是f(z)的一个原函数. 证明:积分 与路径无关,因此这里的两个实积分也与路径无关,其积分上限函数分别记为P和 Q,则在D内有 即有 由C-R条件知F(z)在D内可导,从而解析,且 牛顿-莱布尼兹公式 如果f(z)=u+iv在单连域D内处处解析,那么函数Φ(z)是f(z)在D内的一个原函数,则 例2 计算 解: 例1 计算 (1) 积分路径不经过原点与负实轴; (2) 积分路径不经过原点与第一象限. 解:(1) 例2 计算 (2) 积分路径不经过原点与第一象限. 解:(2) 将复平面从Г:y=x,x≥0处割开,且定义 则Ln(z)在复平面C\Г上单值、解析,且(Ln(z) )=1/z,故 1. 闭路变形原理 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 得 ︵ ︵ ︵ ︵ 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭路变形原理 说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 2. 复合闭路定理 那末 例2 解 依题意知, 根据复合闭路定理, 例3 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, 例4 解 由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为Г不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线Г内即可. 例4’ 解 由上例可知 通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定理: 并注意定理成立的条件. 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点. 常用结论: 思考题 1. 应用柯西–古萨定理应注意什么? 2. 复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题?