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例、 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。 o x 证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为?dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为： 根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为： 柔绳对桌面的冲力F＝F即： 而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg 六、碰撞 微观粒子间的碰撞： 粒子间相互作用是非接触作用。双方相互接近时 有很强的相互斥力，迫使他们碰撞前就偏离原来 运动方向而分开，通常成为散射。 宏观： 碰撞时两物体直接接触。 特点：碰撞前后两物体无相互作用，接触时相 互作用强。 忽略外力作用时，两体系统总动量守恒。 设 为碰撞前两球的接近速度 为碰撞后两球的分离速度 则定义恢复系数为 碰撞时系统动量守恒 1、完全弹性碰撞（弹性碰撞） 碰撞过程中 总动量守恒 动能守恒-----完全没有能量耗散 2、完全非弹性碰撞 总动量守恒 碰后两物体不再分离，机械能损失最大。 3、非完全弹性碰撞 总动量守恒 介于完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间 讨论：正碰（对心碰撞） 与 方向相反， 由动量守恒 由恢复系数 由（1），（2）解得 上两式中 得完全弹性碰撞后的速度大小 得完全非弹性碰撞结果 得非完全弹性碰撞结果 例：质量 M 的沙箱，悬挂在线的下端，质量 m，速率 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出子弹的速率 ，并说明在此过程中机械能损失。 m M h 解：从子弹以初速击中沙箱到获得共同速度可看作在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向受外力为0，由动量守恒有 子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱、地球组成的系统机械能守恒。 碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为： 例 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h＝19.6m处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S1＝1000米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2) 解：知第一块方向竖直向下 v2 y h x v1 S1 爆炸中系统动量守恒 v2 y h x v1 S1 第二块作斜抛运动 落地时，y2=0 所以t2=4s t’2＝－1s(舍去） x2=5000m mv1/2 mv2/2 mvx 注意： 2）方向： 的方向 1）大小 o ? m d 一 、 力矩 角动量 1-6 角动量定理 角动量守恒定律 力矩：力 对任意点O的力矩定义为 （2）力 的作用线与矢径 共线（即 ） 有心力： 物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点 力心 力矩为零的情况: （1）力 等于零； （3）力 的作用点在O点,即 等于零； 角动量（动量矩）: 角动量方向 角动量大小 系统的总角动量 m o θ m 0 定义质点m对O点的角动量为 X Y Z O 或： 质点作圆周运动 质点作直线运动 例1 单摆的质量为m，摆线长为l，自水平位置释放开始 下摆，求摆至任意角θ时的角动量。 解：角动量为 由机械能守恒，有 解得 方向：垂直纸面向里。 例2 一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为： 其中a、b、?皆为常数，求该质点对原点的角动量。 解：已知 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 角动量与选择的参考点有关。 例3.自由下落指点的角动量。 A m (1)对A点的角动量 任意时刻t,有 （2）对O点的角动量 二、角动量定理 1）角动量定理的微分形式 对一个质点： 此式称为质点的角动量定理 X Y Z O 对多个质点而言： （以两个质点为例） 如图设有质点m1 、 m2 分别受外力 外力矩 内力 内力矩 对质点（1）： 对质点（2）： 两式相加： m1 m2 d X Z Y O 令： 质点系所受的合的外力矩 质点系的总角动量 则： 推广到n个质点的质点系： 质点系角动量定理：系统角动量对时间的变化率等于系统所受合外力矩。 内力矩 2）角动量定理的积分形式 对上式积分： 设：在合外力矩M的作用下， 时间内 系统的角动量从 称为力矩的角 冲量或冲量矩 角动量定理（积分形式） 作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。 三、角动量守恒定律 若 则： 角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考点的角动量将保持不变。 由 例　一质量为