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第四节 条件概率 二、 乘法定理 四、小结 备份题 1.条件概率 全概率公式 (因→果) 贝叶斯公式 (果→因) 乘法定理 * * 一、条件概率 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 二、乘法定理 1. 定义 ? A B AB 一、条件概率 2. 性质 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 例2 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概 P(B|A). 解 由条件概率的公式得 例3 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有 解 定理 设P(A)0，则 推广 例4 已知P(A) = 1/3，P(B) = 1/2，P(B|A) = 3/4， 求P(A +B)，P(A|B). 解 因为 P(AB) = P(B|A)P(A) = 1/4，所以 P(A + B) = P(A) + P(B) -P(AB) = 7/12 而 P(A|B)＝P(AB)/P(B) ＝ 1/2 例5 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率. 解 设 B 为拨号不超过三次而接通的事件， Ai(i=1，2，3)为第 i 次拨号接通事件，则 故 例6 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相 同? 解 则有 抓阄是否与次序有关? 依此类推 故抓阄与次序无关. 例7 电影票每张5 元，现有m + n 个人排队购票. 设有m 人持有5 元币，其余 n (n = m) 人只有10 元币. 若每人限购一张，且售票处无零钱可找，求无人等待找钱的概率. 解 设a1，… ，an 为持 10 元币的人，b1，… ， bm 为持 5 元币的人. 要无人等待找钱，必须每个持 10 元币的人前面持 5 元币的人数多于持 10 元币的人数. 设 Ak 为 ak 不等待找钱事件，则 P(A1) = m/(m + 1) (m 个持5 元币的人加一个持10 元币的人中，只要 a1 不排在第一位) P(A2|A1) = (m-1)/m， … ， P(Ak|A1A2 …Ak-1) = (m-k+1)/(m-k+2) 所以 P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2|A1) … P(An|A1 …An-1) =(m-n+1)/(m+1) 1. 样本空间的划分 三、全概率公式与贝叶斯公式 定义 设 S 为试验 E 的样本空间，B1，B2，… ，Bn 为 E 的一组事件. 若 则称 B1，B2，… ，Bn 为样本空间 S 的一个划分. 2. 全概率公式 设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，B1，B2，… ，Bn为 S 的一个划分，且 P(Bi) 0 (i = 1，2，… ，n)，则 P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn) 称此为全概率公式. 图示 证明 化整为零 各个击破 说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 例8 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件 A 为“任取一件为次品”, 解 由全概率公式得 30% 20% 50% 2% 1% 1% 称此为贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式 设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，B1，B2，… ，Bn为 S 的一个划分，且 P(A) 0，P(Bi) 0 (i = 1，2，… ，n)，则 证明 例9 考卷中一道选择题有4 个答案，仅有一个正确. 设一个学生知道正确答案或不知道正确答案而乱猜是等可能的，如果这个学生答对了，求他确实知道正确答案的概率. 解 设 A = {知道正确答案}，B = {学生答对了}，