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作 业 P144 16(2)(3); 18 P146 15 * * Department of Mathematics 第三章 复变函数的积分 第四节 解析函数与调和函数 根据解析函数高阶导数定理, 1.Laplace算子 偏微分方程 称为Laplace方程 其中 称为Laplace算子 从以上分析知: 2 调和函数 定义3.5 注 3. 共轭调和函数 注 (1)定义3.6 (2)定理3.18 注 4. 解析函数的构造 由数学分析的定理知, 方法一:应用曲线积分 是全微分, 令 则 注: 注1: (3.21)可由 去记. 方法二:应用不定积分 有 有 类似有 故 注: 5. 解析函数的等价刻划 (1)定理3.19 (2)刻划解析函数又一等价条件 注: 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数. 例1 证明 由于 但直线不是区域, 例2 证明 由于 从而 例3 解 有 解(法二) 例4 解 在右半z平面上 故在右半z平面上, 故 故所求的解析函数为