ppt特殊平面图与平面图的对偶图.ppt

* * Email: yc517922@126.com 图论及其应用 任课教师：杨春 数学科学学院 本次课主要内容 (一)、一些特殊平面图 (二)、平面图的对偶图 特殊平面图与平面图的对偶图 1、极大平面图及其性质 2、极大外平面图及其性质 1、极大平面图及其性质 (一)、一些特殊平面图 对于一个简单平面图来说，在不邻接顶点对间加边，当边数增加到一定数量时，就会变成非平面图。这样，就启发我们研究平面图的极图问题。 定义1 设G是简单可平面图，如果G是Ki (1≦i≦4),或者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是非可平面图，则称G是极大可平面图。 极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。 注：只有在单图前提下才能定义极大平面图。 引理 设G是极大平面图，则G必然连通；若G的阶数大于等于3，则G无割边。 极大平面图 非极大平面图 极大平面图 (1) 先证明G连通。 若不然，G至少两个连通分支。设G1与G2是G的任意两个连通分支。 把G1画在G2的外部面上，并在G1,G2上分别取一点u与v.连接u与v得到一个新平面图G*。但这与G是极大平面图相矛盾。 (2) 当G的阶数n≥3时，我们证明G中没有割边。 若不然，设G中有割边e = uv，则G-uv不连通，恰有两个连通分支G1与G2。 u v e G1 G2 G f 设u在G1中，而v在G2中。由于n≥3, 所以，至少有一个分支包含两个以上的顶点。设G2至少含有两个顶点。又设G1中含有点u的面是 f , 将G2画在 f 内。 由于G是单图，所以，在G2的外部面上存在不等于点v的点t。现在，在G中连接点u与t得新平面图G*,它比G多一条边。这与G的极大性相矛盾。 v u e G1 G2 G 下面证明极大平面图的一个重要性质。 定理1 设G是至少有3个顶点的平面图，则G是极大平面图，当且仅当G的每个面的次数是3且为单图。 注：该定理可以简单记为是“极大平面图的三角形特征”，即每个面的边界是三角形。 证明：“必要性” 由引理知，G是单图、G无割边。于是G的每个面的次数至少是3。 假设G中某个面 f 的次数大于等于4。记 f 的边界是v1v2v3v4…vk。如下图所示: 如果v1与v3不邻接，则连接v1v3，没有破坏G的平面性，这与G是极大平面图矛盾。所以v1v3必须邻接，但必须在 f 外连线；同理v2与v4也必须在 f 外连线。但边v1v3与边v2v4在 f 外交叉，与G是平面图矛盾！ 所以，G的每个面次数一定是3. 定理的充分性是显然的。 v1 v2 v3 v4 v5 vk f 推论：设G是n个点，m条边和ф个面的极大平面图，且n≥3.则：(1) m=3n-6; (2) ф=2n-4. 证明：因为G是极大平面图，所以，每个面的次数为3.由次数公式： 由欧拉公式： 所以得： 所以得： 又 所以： 注：顶点数相同的极大平面图并不唯一。例如： 正20面体 非正20面体 还在研究中的问题是：顶点数相同的极大平面图的个数和结构问题。 2、极大外平面图及其性质 定义2 若一个可平面图G存在一种平面嵌入，使得其所有顶点均在某个面的边界上，称该图为外可平面图。外可平面图的一种外平面嵌入，称为外平面图。 外可平面图 外平面图1 f 外平面图2 f 注：对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入，使得G的顶点均在外部面的边界上。这由球极投影法可以说明。 下面研究极大外平面图的性质。 定义3 设G是一个简单外可平面图，若在G中任意不邻接顶点间添上一条边后，G成为非外可平面图，则称G是极大外可平面图。极大外可平面图的外平面嵌入，称为极大外平面图。 极大外平面图 定理2 设G是一个有n (n≥3)个点，且所有点均在外部面上的极大外平面图，则G有n-2个内部面。 证明：对G的阶数作数学归纳。 当n=3时，G是三角形，显然只有一个内部面； 设当n=k时，结论成立。 当n=k+1时，首先，注意到G必有一个2度顶点u在G的外部面上。(这可以由上面引理得到) 考虑G1=G-v。由归纳假设，G1有k-2个内部面。这样G有k-1个内部面。于是定理2得证。 引理 设G是一个连通简单外可平面图，则在G中有一个度数至多是2的顶点。 定理3 设G是一个有n (n≥3)个点，且所有点均在外部面