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例2 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱, 三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这 10 箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品, 求取得的正品概率. 设 A 为事件“取得的产品为正品”, 分别表示“任取一箱产品是甲、乙、丙生产的”, 由题设知 解 故 解 练习 由贝叶斯公式得所求概率为 作业： 习题1-4 3，8 ， 9，10 * 2007-9-25（周二7、8节），6316，200603941，200603942讲到22片。 * 2007-9-27（周四1、2节）一阶 讲到12片（未讲答案）。 一、条件概率 三、全概率公式与贝叶斯公式 二、乘法公式 1.4 条件概率 四、小结 一、条件概率 1. 引入 -----抽签的公平性 ? A B AB 2. 定义1.3 A B 3. 性质 4、条件概率的计算方法 (1)定义式 (2)直接计算 二、 乘法公式 (2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法 例1.21 某批产品中,甲厂生产的产品占60%,已知甲厂的产品的次品率为10%,从这批产品中随意的抽取一件,求该产品是甲厂生产的次品的概率. 例1.22 一袋中装10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从中随意各取一球（不放回），求两次取到的均为黑球的概率。 于是根据乘法公式，有 三、全概率公式与贝叶斯公式 样本空间的划分 ------全概率公式 全概率公式 解：记A表示事件“第一次取到黑球” B表示事件“第二次取到黑球” ? A B AB 例1.24 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率 不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。 于是 解 记A为事件“利率下调”，那么 即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”。据题设知 说明 （1） 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. （2）使用全概率公式的关键是找出与所求事件B的发生相联系的完备事件组 ------贝叶斯公式 贝叶斯公式 根据条件概率的定义，有 由乘法公式知 由全概率公式知 于是得 求导致事件B发生的事件A的发生概率P(Ａ/Ｂ)。 解：事件A的发生概率为P(A),事件B发生的概率为P(B)，两事件同时发生的概率为P(AB)，则 注：先验概率与后验概率 Bayes中概率 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 贝叶斯公式又称为后验概率公式和逆概率公式 用它进行判断或推断的方法，称为贝叶斯决策，例如鉴别废品来源；某种疾病的诊断等等。 条件概率 叫做后验概率. 例1.25（续例1.23）例1.23中，如果观察到第二次取到的球是黑球，求第一次取到的是黑球的概率。 解 设“第一次取到的是黑球”这一事件为A，“第二次取到的是黑球”这一事件为B，则问题归结为求条件概率P(A/B) 据题设易知 从而 例1.26 设某批产品中,甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件。 (1) 求取到的是次品的概率; (2) 经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲厂生产的概率. 35% 20% 45% 2% 5% 4% 甲 乙 丙 思考： 经检验取到的是废品，问此废品最有可能 来源于哪一个厂？ （甲厂） 补例 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症. 解 1.条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 四、小结 乘法公式 例1 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率. 解 设事件A 为“ 两颗点数之和为 7 ”, 事件 B 为 “ 一颗点数为1 ”. 故所求概率为 掷骰子试验 两颗点数之和为 7 的种数为 3, 其中有一颗为 1 点的种数为 1, 备份题 * 2007-9-25（周二7、8节），6316，200603941，200603942讲到22片。 * 2007-9-27（周四1、