_基本概念__.ppt

* 七、循环群和生成元 (Cyclic group and generating element) 7.1 循环群 对?a∈G，我们记 这些元素均∈G ，并且 即，常规的幂指数运算规则对群元素成立。 * 若任何有限的 n 无法使 ，则群G为无限循环群。 如果循环群G 为有限群，即有限循环群，必有某正整数 n ，有 ； ； ； 即，群G 仅含n个不同元素： ? a的幂次超过之后就出现循环，循环群因此得名。 * 如果G 的全部元素皆可表示为某一元素a的乘幂， 即 则称G 为循环群。循环群是Abel群。 如：C3群中，c3 ，c32 都是生成元。 7.2 生成元 ◆ 生成元不一定唯一 若 n 是奇数，有 为偶次幂，则 ∴ 是 的生成元 是 G 的元素，也就是 G 的生成元 * 循环群中所有元素由a的乘幂（连乘）生成，则a称为循环群的生成元。有an = e，n为生成元的级。（n级，∞ 级） C3 ：3阶循环群，c3 ：3级生成元 整数加法群：无限循环群，1： ∞ 级生成元 * 非循环群 无生成元，但G 的子集M ={a,b,c,…}中元素的各种可能乘幂的乘积能够生成群 ，则称M 为G 的生成元系。 ◆ 生成元系 若M 的任何子集均不是 的生成元系，则M 为G 的不可约生成元系。 举例： M ={c3, c2’, c2’’ }是D3的生成元系，但是由c3c2’ = c2’’ ， M 的真子集M’ 也是D3 的生成元系；而 均不能独自生成，所以，M’ 是D3 的不可约生成元系。易证， M’ ={c3, c2’’ }和M’’ ={c2’, c2’’ }也是D3 的不可约生成元系。 举例： D3群中， 为3阶元 为2阶元 ※ 有限群的群元自乘若干次后必等于单位元 (有限群的普遍性质，可由群乘表看出) 7.3 群元的阶 (有限群，但不一定是循环群)，必有 ，若 ，则 是 阶的元素， 称为群元的阶。 注意：区别于生成元的级 * 习题：证明二、三阶群都是循环群。 * 八、共轭元素和共轭类 (Conjugate element and class) 8.1 共轭元素 对于群G，A、B∈ G，如果存在某一群元 x∈ G，使得 ，则称B与A共轭，A与B互为共轭元素（简称共轭元）。 对于矩阵群，两个群元共轭就是两个矩阵相似。 2、 传递性 ① 如果A与B共轭，则必定存在元素S使得A与 B共轭； ② 如果B与C共轭，则必定存在元素R使得B与 C共轭，于是A与C共轭。 证明： ∴ A与C共轭 * 特点： 1、互相性 由 * 8.2 共轭类 群G 中互为共轭的元素的完整集合，构成G 的一个共轭类，简称类，用C 表示。 举例： C3v 群的类 * 由 ，对x 取遍所有群元，算出与A共轭的所有B元，就得到含A元的一个类。 * * 类的特点： ① 单位元： ，自成一类。 ② 两个不同的类没有相同元素。 习题：确定C3群的所有类。 ③ 除单位元外，任一类都不是子群。(无单位元) ④ 对于Abel群，每一个元素均自成一类。 证： ⑤ 同类的元素具有相同的阶。 证： A、B同类，则有 ，如果 则A 的阶为n，