、实对称矩阵的对角化.ppt

第三节 实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质 第三节 实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质 第三节 实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化　　的方法 * 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵． 证明 于是有 两式相减，得 定理1　对称矩阵的特征值为实数. 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵． 定理1　对称矩阵的特征值为实数. 定理1的意义 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵． 定理1　对称矩阵的特征值为实数. 证明 于是 证明 它们的重数依次为 　　根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理2可得： 设 的互不相等的特征值为 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 求正交矩阵 ，使 为对角阵. 解 (1)第一步 求 的特征值 例1 得 得 求正交矩阵 ，使 为对角阵. 例1 得 得 得 求正交矩阵 ，使 为对角阵. 例1 得 得 得 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 求正交矩阵 ，使 为对角阵. 例1 得 得 第四步 将特征向量单位化 作业 求正交矩阵 ，使 为对角阵. 1. 作业 求正交矩阵 ，使 为对角阵. 解 1. 于是得正交阵