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§1.3 条件概率 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、条件概率 二、乘法原理 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、条件概率 例1 将一枚硬币掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两次掷出同一面”。求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。 分析：样本空间Ω ={HH，HT，TH，TT}， A={HH，HT，TH}, B={HH，TT}, AB={HH} 已知A已发生，即知试验所有可能结果所成的集合是A，而A中的三个元素只有HH∈B， 所以已知A已发生的条件下B发生的概率（记为P（B|A））为 P（B|A）=1/3 显然P（B）≠P（B|A）， 这个公式对于一般的古典概型问题都适用。设试验的基本事件总数为n，A所包含的基本事件数为m（m0），AB所包含的基本事件数为k，则有 （1） 事实上，对其它概型公式（1）仍成立。 定义1：设A，B是两个事件，且P（A）0,称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 注1：在该定义中P（A）0这一点务必满足。同样若求 P（A|B）则必须满足P（B）0. 条件概率是一个概率,它符合概率的三个基本性质： i）对于每一个事件B，有P（B|A）≥0； ii）P（ Ω |A）=1； iii）设B1，B2，…，Bn,…是两两互不相容的事件，则有 条件概率的基本性质： 注2：对条件概率 而言，对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。简单列出来为： 1）P（Φ|A）=0； 2）若B1，B2，…，Bn是两两互不相容的事件，则有 3）设B，C是两个事件，则有 条件概率的基本性质： 4）对任一事件B， 5）对任一事件B, 6）对于任意两事件B1，B2有 例2 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品。从中取产品两次，每一次任取一只，作不放回取样。设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”试求条件概率P（B|A） 解法一：将产品编号1，2，3为一等品，4，5号为二等品。（i，j）表示第一次取到第i号，第二次取到第j号产品，则 Ω = {（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,1）,（2,3）, (2,4）,（2,5）,…,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）} 共20个元素。 A= {（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（3,5）} 共12个元素 AB= {（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,3）,（3,1）,（3,2）}共6个元素。 例2 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品。从 中取产品两次，每一次任取一只，作不放回取样。设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等 品”试求条件概率P（B|A） 解法二：直接按条件概率的含义求P(B|A),当A已发生后，试 验E所有可能结果的集合是A，A的12个元素中只有个6属于B, 所以 P（B|A） 解法三：利用第一次抽取的所有可能结果作成的样本空间做 Ω = {1，2，3，4，5} 已知A发生，则Ω中只剩4个元素，其中两个一等品，两个二 等品 故 P（B|A） 例3 有编号1，2，…，50的五十张考签，学生从中抽取一张进行考试，抽后不再放回，已知甲生已抽到前十号考签中的一个，问乙生抽得前十号考签的概率． 解 设A为事件“甲生抽到一个前十号考签”，B为“乙生抽到一个前十号考签” , 事件AB是甲生、乙生都抽到前十号考签 所以 二、乘法原理 乘法原理： 设P（A）0，则有 P（AB）= P（A） P（B|A）（3） 推广：设A，B，C为事件，且P（AB）0，则有 P（ABC）= P（A） P（B|A）P（C|AB） （4） 设A1，A2，…，An为n个事件（n≥2），且 P（A1A2…An-1）0,则有 例4 设已知甲地下雨的概率是α,在甲地下雨的条件下乙地下雨的概率是β,在甲、乙两地都下雨的条件下丙地下雨的概率是γ.试求:(1)甲、乙、丙三地同时下雨的概率;(2)甲、乙两地下雨而丙地未下雨的概率. 解: 记A={甲地下雨}, B={乙地下雨}, C={丙地下雨} 由题意知 P(A)=α, P(B|A)=β, P(C|AB)=γ 故 (