、连续时间系统的时域分析.ppt

§2.1 引言 连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性常系数微分方程，求解微分方程通常有两种方法：一是直接求解，因涉及的函数变量都是时间t，所以称时域分析法；二是变换的方法，即将时间变量变换为其他变量，所以也称变换域分析法。 这一章我们主要讨论时域分析法，下面先看一个RLC串联电路 列回路方程可得: 一、经典解法 这种形式的方程其解法在高等数学中已学过。求解过程可分为三步： 1、求出齐次方程的通解。（称自由响应） 2、根据激励函数的具体形式求特解。（称受迫 响应） 3、根据初始条件求待定系数。 这种方法对于简单的正弦函数或指数函数、直流激励时求解比较简单，但对于一些复杂的激励信号求解就比较困难了。 二、叠加积分法 这种方法将全响应分为零输入响应和零状态响应 r(t)=rzi(t)+rzs(t) 1、求解齐次方程，根据初始状态求出待定系数得rzi(t) 2、将e(t)分解为基本函数，分别求解系统对这些基本函数的响应。 3、根据线性系统的叠加原理将它们相加得rzs(t) 4、r(t)=rzi(t)+rzs(t) 第2步的分解一般有两种方法： ⑴分解为脉冲 ⑵分解为阶梯 当分解得无限小时第3步的求和变为积分，第一种方法得到卷积积分,第二种方法得到杜阿美尔积分。 §2.2系统方程的算子表示法 对于n阶线性非时变系统其输入输出方程为 结论： 1、代数量的运算规则对于算子符号一般也适用，只是在分子分母或等式两边的相同算子符号不能随意约去。 2、它表达的是一个运算过程，应把它作为整体看待，书写时也应把它写在变量的左边，表示该运算过程作用于某个变量。 3、算子形式的方程实质上还是一个微分方程。 例:电路如图所示，写出i1(t) , i2(t)的转移算子。 解：直接用算子符号列方程： §2.3系统的零输入响应 前面已经指出求零状态响应就是求解齐次方程： 先看一阶、二阶的简单情况，然后再推广到一般情况。 显然r1(t)，r2(t)都满足原方程，所以解的一般形式可写为： 若t=0时的初试条件为 r(0) , r’(0)，代入上式得： 例2-1 如图RLC串联谐振电路，已知 L=1H , C=1F , R=2.5Ω 初始条件为： 1、i(0)=0 A , i’(0)=1 A/s 2、i(0)=0 A, uc(0)=10 V 分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。 解：前面我们已经列出了它的微分方程 例2-2 上例中将电阻改为R=2Ω 初始条件仍为：i(0)=0 A , i’(0)=1 A/s求回路电流的零输入响应。 解: 讨论：这种情况特征根为二阶重根，在电路理论中属于临界阻尼的情况，电路工作过程与例2-1一样。而例2-1在电路理论中属于过阻尼的情况，临界阻尼和过阻尼的零输入响应电流都不出现振荡。如果继续减小电阻则零输入响应电流将出现衰减的振荡，在电路理论中称欠阻尼。 例2-3 上例中将电阻改为R=1Ω 初始条仍件为：i(0)=0 A , i’(0)=1 A/s求回路电流的零输入响应。 解： 零输入响应小结： 求解零输入响应就是解齐次方程 D(p)r(t)=0 ，可根据特征方程D(p)=0根的三种不同情况写出解的一般形式。 对于复杂的系统其特征根中可能既有异实根又有重根还可能有共轭复根，则系统零输入响应的一般形式我们可以根据根的不同情况分别写出，例如系统的特征根中λ1，λ2为两个不同的实根，λ3=α+jβ，λ4=α-jβ为一对共轭复根，λ5为三阶重根则系统零输入响应的一般形式写为： §2.4奇异函数 系统的全响应是零输入响应和零状态响应之和，上一节讨论了零输入响应的求法，后面几节将讨论零状态响应的求法。本节先介绍几个很有用的信号函数，由于这些信号在实际中并不存在，只是数学上对某些信号的一种抽象和理想化，所以称为奇异函数。 一、单位阶跃函数ε(t) 我们来看下面的一个电路系统，原来输入端没有输入，在t＝0时接入电源E。 二、单位冲激函数δ(t) 单位冲激函数δ(t)除了t=0外其余均为0。δ(t) 函数在t=0处的值没有定 义，但其面积为1，即： ， 其面积称为单位冲激函数的冲激强度。在图象上用括号括起来，表示冲激强度而不是函数的幅度；其幅度有时也将它看成无穷大，在图象上用箭头表示。 单位冲激函数的几个性质： ε(t)和δ(t)这二个奇异函数特别重要，要求重点掌握。有了这二个函数对一些分段表示的函数表达起来就比较方便，另外对一些不连续的函数也可以求导数了。 例如：如图所示的函数可分段表示为：