《离散数学》图的基本概念.ppt

一、通路，回路。 1、通路 (回路) 中顶点和边的交替序列 —— ，其中 (无向图)， 或 (有向图)， ——始点， ——终点，称 为 到 的通路。当 时， 为回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路) 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈) 初级通路 (回路) 简单通路 (回路)， 但反之不真。 4、通路，回路 的长度—— 中边的数目。 例1、(1) 图(1)中，从 的通路有： 到 ………… 长度3 长度6 长度6 初级通路 简单通路 复杂通路 (2) ………… 长度3 长度4 长度7 图(2)中过 )有： 的回路 (从 到 初级回路(圈) 初级回路(圈) 复杂回路 5、图中最短的回路。 如图： 6、性质。 定理3： 阶图中，若从顶点 到 存在 通路 ，则从 到 存在长度小于等于 在一个 的通路。 推论： 阶图中，若从顶点 到 存在 通路 ，则从 到 存在长度小于等于 在一个 的初级通路。 定理4： 阶图中，若 到自身存在回路， 则从 到自身存在长度小于等于 的回路。 在一个 推论： 阶图中，若 到自身存在一个 简单回路，则从 到自身存在长度小于等于 的初级回路。 在一个 由以上定理可知，在 阶图中， 任何一条初级通路的长度 任何一条初级回路的长度 二、图的连通性。 1、连通，可达。 无向图中，从 到 存在通路，称 到 是 连通的(双向)。 有向图中，从 到 存在通路，称 可达 (注意方向) 。 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 通路。 距离——短程线的长度， 记 无向图 有向图 若 之间无通路(或不可达)，规定 距离 满足： (1) ， 时，等号成立。 (2) 若是无向图，还具有对称性， 。 3、无向图的连通。 为连通图—— 是平凡图，或 都是连通的。 中任两点 为非连通图—— 中至少有两点不连通。 设 是一个无向图， 是 中顶点之间的连通 关系，则 是等价关系。 设 将 划分成 个等价类： ，由它们导出的子图 称为 的连通分支，其个数记为 4、有向图的连通。 —— 中任一对顶点都互相可达 (双向) —— 中任一对顶点至少一 向可达 ——略去 中有向边的方向后 得到的无向图连通 连通 强连通 单向连通 弱连通 强连通 单向连通 弱连通 例2、 强连通 单向连通 单向连通 弱连通 非连通图 三、点割集，边割集。 1、设无向图 是连通图，若有顶点集 ，使 删除 （将 中顶点及其关联的边都删除）后，所得子图 是不连通的或是平凡图；而删除 中的任何真子集 后，所得子图是连通的，则称 是 的点割集．若点割集中只有一个顶点，则称该点为割点． 2、设无向图 是连通图，若有边集 ，使 删除（将 中的边从 中全部删除）后，所得子图 是不连通的或是平凡图；而删除 中的任何真子集 后，所得子图 是连通的，则称 是 的边割集．若边割集中只有一条边，则称该边为割边或桥． 内容：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵。 重点：1、有向图，无向图的关联矩阵， 2、有向图的邻接矩阵。 了解：有向图的可达矩阵。 第三节 图的矩阵表示 一、无向图的关联矩阵。 1、设无向图 ， ， ， 的关联矩阵 ， 例1、无向图 (下图所示)，求 。 解： 2、性质。 (1) (2) (3) 握手定理 (4) ，当且仅当 为孤立点。 (5) 若第 列与第 列相同，则说明 与 为平行边。 二、有向图的关联矩阵。 1、设无环有向图 ， ， ， 的关联矩阵 ， 其中 例2、有向图 (下图所示)，求 。 解： 2、性质。 (1) (2) (3) 三、有向图的邻接矩阵。 1、设有向图 ， ， 的邻接矩阵 ， ， 其中 指 邻接到 的边的条数 (非负整数)。 例3、有向图 (下图所示)，求 。 解： 2、性质。 (1) (2) (3) (4) 为 中环的个数。 * * 　　图论是一个古老的数学分支，它起源于游戏难题的研究。图论的内容十分丰富，应用得相当广泛，许多学科，诸如运筹学、信息论、控制论、网络理论、博弈论、化学、生物学、物理学、社会科学、语言学、计算机科学等，都以图作为工具来解决实际问题和理论问题。随着计算机科学的发展，图论在以上各学科中的作用越来越大，同时图论本身也得到了充分的发展。本课程在第六、七章中介绍与计算机科学关系密切的图论的基础内容。 图论简介 内容：有向图，无向图的基本概念。 重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念， 第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图 5、图的同构的定义。