《自动控制原理》根轨迹法.ppt

第4章 根轨迹法 本章的主要内容 4.1根轨迹与根轨迹方程 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系 4.4 开环零极点对根轨迹的影响 4.1根轨迹与根轨迹方程 4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3 系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系 4.3.1闭环零极点分布与阶跃响应的关系 4.3.2主导极点与偶极子 4.3.3利用主导极点估算系统的性能指标 4.3.1闭环零极点分布与阶跃响应的关系 4.3.2主导极点与偶极子 4.3.3利用主导极点估算系统的性能指标 4.4 开环零极点对根轨迹的影响 4.4.1开环零点对根轨迹的影响 4.4.1开环零点对根轨迹的影响 4.4.2开环极点对根轨迹的影响 与实轴交点： 5．分离点d 实轴分离点 d1=-2 复数分离点 d2,3=-2±j2.45 6．根轨迹与虚轴交点 令S=jω特征方程 所以：当0K260系统稳定 根轨迹描述的是当系统参数变化时，其闭环极点在S平面的分布，而系统的性能一般都由其阶跃响应来表示，所以，闭环零极点的分布决定了控制系统的性能关系。 设n阶系统的闭环传递函数为 式中 Zj为闭环传递函数的零点 Si为闭环传递函数的极点 设输入为单位阶跃信号 其拉氏变换为： 则 若 无 重极点，可将上式分解成部分分式，得 经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应 从上式可看出，系统的单位阶跃响应由闭环极点SK及 系统AK决定。 一个好的控制系统，要求其输出量尽可能复现给定量，要求系统是稳定的，要求动态过程的快速性平稳性要好一些，这就要求： 1．要求系统稳定，必须要求闭环极点均位于S平面左半部； 2．要求系统快速性好，使SK的绝对值大，使暂态分量衰减的快，则闭环极点应远离虚轴。 3．要求动态过程尽快消失，要求AK要小，对应的暂态分量小，由式（4-20）可知 使分母大，分子小。闭环极点Si远离SK，零点Zi应靠近SK。 主导极点：对系统动态特性影响最大的闭环极点，包括复数极点和实数极点，称主导极点，相对于离虚轴最近的闭环极点对系统影响最大，其它极点实部绝对值比主导极点的实部大2～3倍以上时在工程上即可忽略不计。 工程上往往利用主导极点估算系统动态性能，将一个较复杂的系统近似地看成是一阶或二阶系统进行分析。 偶极子：将一对靠得很近的闭环极点与零点称为偶极子，在对系统设计时，我们可以添加零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态特性得到改善。 ? 在工程上经常利用主导极点估算系统的性能指标，将高阶系统近似地看成简单的一阶和二阶系统，直接利用时或分析章节中的公式和曲线。 例4-8某系统闭环传递函数 试近拟计算机系统的动态性能指标σ%， 解 闭环有三个极点，分别为 极点S1离虚轴最近，因为S2，3负实部-4与S1负实部-1.5之比=2.66，则S1为系统的主导极点。将S2，3忽略不计，这时系统可以近拟看成一阶系统。 时间常T=0.67 由时域分析可知σ%=0系统无超调量 ＝3T=3×0.67秒 例4-10负反馈系统的开环传递函数 绘出K(由0→∞)变化时系统闭环根轨迹 解 首先把开环传递函数化成标准式 （1）、作根轨迹图 P1=0，P2=-1，P3=-2，n=3,m=0有三条根轨迹，从P1 ，P2， P3出发，分别趋于无穷远。 实轴上（0，-1），（-2，-∞）区段存在根轨迹。 渐近线与实轴交点为 渐近线与实轴正方向夹角为 式中S2不在根轨迹上舍去。 分离点d=-0.423 分离点坐标 与虚轴交点 令S=jω代入特征方程 实部 虚部 画出根轨迹如图所示 （2）分析系统稳定性 当K3时，有两条根轨迹进入S平面右半部，系统不稳定。所以当0K3时系统是稳定的。 （3）要求ξ=0.5 θ=arccosξ=arccos0.5=60° 在图4-14中画出ξ=0.5阻尼线，并测得阻尼线与根轨迹交点。 S1=-0.33+j0.57 S2=-0.33-j0.57 欲确定S1，S2是一对主导极点，必须找出同一K值时的第三个闭环极点，并确认其实部与S1，S2相差6倍以上，将S1=-0.33+j0.57代入到根轨迹幅值条件中求得对应的K值。 |S（S+1）（S+2）|=2K |-0.33+j0.57|×|-0.33+j0.57+1|×|-0.33+j0.57+2|=2K K=0.516 在K=0.516时，S1，2=±0.33+j0.57，S3待求。 求S3时，相于一个三次方程，知道了两个根，求第三个根。由特征方程可知 S（S+1）（S+2）+2