《高等数学》北大版多元函数.ppt

* 推广 第六章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学 6-1 多元函数 1.多元函数的概念 引例: ? 一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的 函数: 在这里c是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数. 多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组， 如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点.当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到 实 数域R 的一个映射（如图）. 同样地，一个三元函数实 质上就是三维空间中某个点集合到实数 域R 的一个映射. 相等同 相等同 相等同 　　 设有一个集合 　　　, 如果对于　中每一点 　　　　, 按照一定的规则　, 都有一个唯一确定的实数　　 与之相对应，则称　是一个定义在　上的n元 函数． 定义 记作 点集 D 称为函数f的定义域 ; 全体函数值的集合： 称为函数f的值域 . 自变量， 而把u称作因变量. 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 例1, 二元函数 定义域为 圆域 图形为中心在原点的上半球面. 多元函数的定义域及图形. 函数z?ln(x?y)的定义域为 {(x? y)|x?y0}? 函数z?arcsin(x2?y2)的定义域为 {(x? y)|x2?y2?1}? 例2 补例 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 的图形一般为空间曲面 ? . 2. 　 中的集合到　 的映射 一般化就是 例3 平面曲线的参数方程 但是,与函数 不同，对于每一个 而应是 例4 平面上的坐标变换 第j个分量. 　　中的点　　　　　到　　　　　 的距离　 定义为 它满足下列条件： 当且仅当　　　时等号成立； 在数轴 上 在平面 中 在空间 中 三角不等式 注 3. 　　中距离、邻域及开集 回忆一维空间中点的邻域概念 利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间 ( ) . 定义 开圆盘 设 为给定的一点, 是给定 的正数, 定义 点的 邻域是集合 x y . o 开球体 O x y z . 下面我们来定义开集及区域的概念 边界点 内点 外点 设　　 是一个给定的集合，点　　　： (1)若存在一个正数　使得　　　　则称　是　的内点．　　　 (2)若存在一个正数　使得 则称　 是 的外点． (3)既不是内点又不是外点的点 称为　的边界点． 　点　　 是　的边界点　　对于任意的正数　, 点 的　邻域　　　中既有　中的点又有非　中的点． 边界点不一定属于集合！ 用 表示集合E 的全体边界点的集合. 例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部： 例5 设集合R是平面 中的一个矩形的内部： 其中a0,b0是常数，则原点（0,0)是R 的一个内点，点 （a,b)是边界点， 点（2a,2b)是一外点. 更一般地说,集合R 内的每一点都是其内点,而它四条边上的每一点都是边 界点，而矩形之外(不含边)任意一点都是外点. 例 6 设 是带边的矩形 其中a0,b0是常数. 显然，在 中 与例5中R有相同的内点、外点及边界 点. 区别于R 的地方是 包含全部边界点. 根据定义很容易看出，一个集合E 的全部内点都包含 于E 的内部，而 E 的全部外点都不含于E 之中. 对于E 的 一个边界点则有两种可能，或者包含于E ，或者不包含 于E . 补例 设平面点集 开集： 闭集： 集合 的每一点都是内点 是开集 集合　包含着它的全部边界点． 中没有边界点． 显然，平面上不带边的任意矩形内部，不带边的任意 一个圆内部都是 中的开集. 例6中的 就是 一个闭集. 在 中这样的集合则既非开集，也非闭集. 连通集：如果点集E内任何两点，都可用折线连接 起来，且该折线上的点都属于E,则称E为连通集. 区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域. 　　 开区域 ? ? 又例如，在 上 例5 设集合R是平面 中