一复数与复变函数.ppt

第一章 复数与复变函数 一、复数概念 设 ， 为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为 ，其中 满足 ，称为虚数单位。实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为 ， 。 注意：各数集之间的关系可表示为 二、复数的代数运算 设复数 ， ，定义 与 的四则运算如下： 加法： 减法： 乘法： 除法： 复数四则运算规律： (1)加法交换律 (2)乘法交换律 (3)加法结合律 (4)乘法结合律 (5)乘法对于加法的分配律 复数运算的其它结果： (1) (2) (3)若 ，则 与 至少有一个为零，反之亦然。 共轭复数的运算性质： (1) (2) (3） (4) (5) (6) (7) 为实数。 例1 化简 由复数 z=x+iy 的定义可知，复数是由一对有序实数(x,y) 惟一确定的，于是可建立全体复数和 xoy 平面上的全部点之间的一一对应关系，即用横坐标为x，纵坐标为y的点P(x,y)表示复数z=x+iy，这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点z与数z看作同义词。 2.复数的向量表示 复数z=x+iy 还可以用起点为原点，终点为P(x,y) 的向量 来表示， x 与 y 分别是 在x 轴与y 轴上的投影。这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系。即 4.复数的三角表示式 称 为复数z的三角表示式。 加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。 例5 求 和 。 例6 求 的三角表示式与指数表示式。 解 ：因为 , 所以 设 则 又因为 位于第II象限， 所以 , 于是 4.无穷远点 关于无穷远点，规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于： 一、乘积与商 二、幂与根 2.棣莫佛公式 棣莫佛资料 三、小结与思考 第四节 复平面上的点集 扩充复平面：包括无穷远点在内的复平面。 有限复平面(或复平面）：不包括无穷远点的复平面。 邻域：平面上以 为中心， 为半径的圆： 内部所有点 的集合称为点的 —邻域，记为 ，即 称集合 为 的去心 —邻域， 记作 。 开集：若点集D的每一个点都是D的内点，则称D为开集。 闭集：若点集D的余集DC为开集，则称D为闭集。 连通集：设是D开集，如果对于D内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通集。 定理三(若尔当曲线定理) 任意一条简单闭曲线必将复平面唯一地分成 三个点集，使它们满足： (1)彼此不相交； (2)D1是有界区域（称为曲线 的内部）； (3)D2是无界区域（称为曲线 的外部）； (4)C既是D1的边界又是D2的边界。 复平面上的一个区域D，若对D中任意一条简单闭曲线，曲线的内部总属于D，则称D 为单连通区域，不是单连通区域的区域称为多(复)连通区域。 在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞(点洞)和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线C 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域。 定义 设G为给定的平面点集，若对于G中每一个复数z=x+iy，按着某一确定的法则f，总有确定的一个或几个复数w=u+iv与之对应，则称f是定义在G上的复变函数，简称复变函数，记作w=f(z)。 其中 z称为自变量，w称为因变量，点集G称为函数