一解析函数.ppt

初等解析函数 对数函数 定义 w = Ln(z) 分析 u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ u = ln r, v = φ 性质 对称性 非周期性 无界性 多值性 初等解析函数 多值函数的概念 初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数： w=Argz函数有无穷个不同的值： 其中argz表示Argz的主值： 初等解析函数 为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值 连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值 连续分支。 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内， Argz的主值argz ： 是一个单值连续函数 。 对一个固定的整数k， 也是一个单值连续函数 。 因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们 都是w=Argz在D内的单值连续分支。 初等解析函数 我们研究下图的情形： 沿负实轴的割线 上沿 下沿 初等解析函数 初等解析函数 初等解析函数 初等解析函数 因此，对于幅角函数w=Argz，0和无穷远点是特殊的两点。在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线L作为割线，得到一个区域D，其边界就是曲线L。则可以将argz分解成一些连续分支。 初等解析函数 结论 对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支 Argz在C内上任一点（非原点）的各值之间的联系：通过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点，让z从某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后，回到该点时，Argz相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值，即从Argz的一个单值连续分支在该点的值，连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值。 初等解析函数 三种对数函数的联系与区别 初等解析函数 对数函数的每个单值连续分支都是解析的，我们也将它的连续分支称为解析分支。对数函数是一个无穷多值解析函数。 我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）；它们存在以下特点： 1、当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值； 2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。 初等解析函数 幂函数 利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复 数，则定义z的a次幂函数为 当a为正实数，且z=0时，还规定 * 复数无大小，复函数无增减 复数有方向，复极限要求高 * * * * * * * * 特别地, * 解析函数的概念 设函数f(z)在点z0及z0某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数 说明 2. 称函数的不解析点为奇点 1.解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 在区域B内的解析函数必在B内可导 5 解析函数 例：函数 只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析 f(z)在点z0 无定义或无确定值； f(z)在点z0 不连续； f(z)在点z0 不可导； f(z)在点z0 可导,但找不到某个邻域在其内处处可导 由解析函数的定义和函数的求导法则可得: （1）如果函数f（z）在区域σ中解析，则它在这个区域中是连续的。 （2）如果f1（z）和f2（z）是区域σ中的解析函数，则其和、差、积、商（商的情形要求分母在σ内不为零）也是该区域中的解析函数。 （3）如果函数ξ=f（z）在区域σ内解析，而函数w=g（ξ）在区域G内解析，若对于σ内的每一点z，函数f（z）的值ξ均属于G，则函数w=g[f(z)]是区域σ上复变量z的一个解析函数。 （4）如果w=f（z）是区域σ上的一个解析函数，且在点z0∈ σ的邻域中|f’（z）|≠0，则在点w0=f（z）∈G的邻域中函数f（z）的值定义一个反函数z=ψ（w），它是复变量w的解析函数。有f’（z0）=1/ ψ’（w0）。 * 可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。 x y z 复数 复函数?z沿任一曲线逼近零。 柯西—黎曼方程 0 实数 实数： ?x沿实轴逼近零。 因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。 Q：当u，v有偏导时，在什么补充条件下，W=f(z)也有导数？ 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上有定义，在D内一点z=x+iy可导，有 * 柯西—黎曼方程 ?z沿实轴, ?y?0 可导，要求二者相等 必要条件 ?z沿虚轴, ?x?0 * 可导的充分条件:f(z)