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第三章 离散傅里叶变换 DFT: Discrete Fourier Transform 一、Fourier变换的几种可能形式 连续时间、离散频率—傅里叶级数 时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的 四种傅里叶变换形式的归纳 二 、周期序列的DFS及其性质 DFS的性质 1、线性： 2、序列的移位 3、调制特性 4、对偶性 因为 所以有： 上式即为： 5、周期卷积和 同样 三、离散傅里叶变换（DFT） 有限长序列的DFT正变换和反变换： x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样； 四、离散傅里叶变换的性质 DFT正变换和反变换： 1、线性： 2、序列的圆周移位 调制特性： 时域序列的调制等效于频域的圆周移位 3、共轭对称性 其中： 定义： 圆周共轭对称序列满足： 圆周共轭反对称序列满足： 对称性质1 对称性质2 证明： 对称性质3 对称性质4 对称性质5 共轭对称性 实数序列的共轭对称性 纯虚序列的共轭对称性 对称性质7 证明： 对称性质8 DFT的奇偶虚实性 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: 4、对偶性 5、DFT形式下的Parseval定理 6、圆周卷积和 圆周卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加 同样，可得 7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积 讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系： 小结：线性卷积求解方法 时域直接求解 8、线性相关与圆周相关 相关函数的z变换： 圆周相关定理 六 、抽样z变换—频域抽样理论 x(n)为无限长序列—混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M 频率采样定理 若序列长度为M，则只有当频域采样点数: 时，才有 即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。 七 、用DFT对模拟信号作频谱分析 信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换 频率响应的混叠失真及参数的选择 频谱泄漏 改善方法： 栅栏效应 改善方法： 增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密 频率分辨率 提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率 八 、序列的抽取与插值 信号时间尺度变换（抽样频率的变换） 抽取：减小抽样频率 插值：加大抽样频率 1、序列的抽取 将x(n)的抽样频率减小D倍 每D个抽样中取一个，D为整数， 称为抽样因子 相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样 序列域直接抽取： 2、序列的插值 将x(n)的抽样频率增加I倍 相邻两点之间等间隔插入 I-1个零点， I 称为插值因子 3、比值为有理数的抽样率转换 将x(n)的抽样频率增加 I /D 倍 先插值 I 倍，再作D倍抽取 小结 本章主要讲几个问题： （1）付里叶变换的四种形式 （2）离散付里叶级数 （3）离散付里叶变换 （4）离散付里叶变换的有关性质 （5）频率抽样理论 （6）离散付里叶变换的应用 （7）DFT逼近连续时间信号产生的问题 时域序列乘脉冲串 用频域采样 表示 的内插公式 用频域采样 表示 的内插公式 对连续时间非周期信号的DFT逼近 1）将 在 轴上等间隔（T）分段 2）将 截短成有限长序列 3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 ，时域周期延拓周期为: 对连续时间非周期信号的DFT逼近过程 1）时域抽样 2）时域截断 3）频域抽样 近似逼近： 对连续时间周期信号的DFS逼近 1）将 在 轴上等间隔（T）分段 2）频域截断：长度正好等于一个周期 近似逼近： 同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。 所以： 信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾 1-14 有一调幅信号  用DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问 (1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）? (2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）? (3)抽样点数应为多少点？ (4)若用 频率抽样，抽样数据为512点，做频谱分析，求 ，512点，并粗略画出