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中国石油大学华东线性代数教辅资料
5.4 实对称矩阵的相似矩阵 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 思考题 思考题解答 定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 于是有 两式相减，得 定理1的意义 证明 于是有 证明 它们的重数依次为 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3可得： 设 的互不相等的特征值为 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 于是得正交阵
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