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第二章　Ｚ变换 　　　信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域分析法。　　　 ２．１　Ｚ变换的定义与收敛域 ２．１　Ｚ变换的定义与收敛域 ２．１．１　Ｚ变换的定义 　　　对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为 　其中Z为一个复变量，上式定义的Z变换称为双边Z变换或标准Z变换， ２．１．２　Ｚ变换的收敛域 　　　由于x(n)的Z变换是一个无穷级数，就必然存在收敛和发散的问题，仅当级数收敛时才可将X(z)表示成一个闭合形式，按照级数理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件，即 　 　使上式成立的所有Z值的集合称为X(z)的收敛域，不同形式的序列，其收敛域不同． １、有限长序列 　　 　其Ｚ变换为　 例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其X(z)。 解： 　 收敛域为　　　　。 　从上式的分母可知在z=1处有一个极点，但是从分子处看出z=1处有一个零点，零极点刚好对消。 ２、右边序列 　　右边序列只有在n≥n1时，序列值不全为零，其它n值时，序列值全为零，即 　其Ｚ变换为 　　当n1 =0时的右边序列称为因果序列，其收敛域为 因此在|z|=∞处Z变换收敛是因果序列的特征。 例：求指数序列　　　　　的Ｚ变换。 解： ３、左边序列 　　左边序列只有在n≤ n２时，序列值有值，n＞ n２时，序列值全为零，即 　其Ｚ变换为 例：求序列　　　　　　　的Ｚ变换． 解： ４、双边序列 　　一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 　其Ｚ变换为　 例：求序列　　　　的Ｚ变换，其中　　。 解：　 ２．２　Ｚ反变换 　　　求Ｚ反变换的方法通常有： 　围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法 如果X(z)只有一阶极点，则X(z)展成 ２、长除法 　　x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即 例：用两种方法求　　　　　　　　的Ｚ反变换． 解：①部分分式法： ②长除法 由收敛域知x(n)是右边序列，所以X(z)按z的降幂排列 ２．３　Ｚ变换的性质和定理 １、线性 　　线性就是要满足比例性和可加性，若 　　则 其中　　　　　　，　　　　　　，即线性组合后的收敛域为各个序列z变换的公共收敛域，如果这些组合中某些零点和极点相互抵消，则收敛域可能扩大。 ２、序列的移位 　若序列x(n)的z变换为 　　则有 　　其中m为任意整数，m为正，则为延迟，m为负则为超前。 ３、乘以指数序列（Ｚ域的尺度变换） 　　若 　　则 收敛域为　　　　　　　　　　　　　　　，可是复数。　　 ４、序列的线性加权 若序列x(n)的z变换为 　　则 ５、共轭序列 　　若 　　则 ７、初值定理 　 如果x(n)是因果序列，则有 证明：因为x(n)是因果序列，有 　　所以 证明： x(n)是因果序列，则 　 　因为　　　　在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限，有 ９、有限项累加特性 　　设x(n)为因果序列，即x(n)=0,n0,若 　　则 证： １１、序列相乘（Ｚ域复卷积定理） 　　若 　　 　　则 　其中C是哑变量v平面上，　　　　　的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单闭合围线。 ２．４　Ｚ变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 ２．４．１　Ｚ变换与拉普拉斯变换的关系 １、Ｚ平面与Ｓ平面 　　设连续信号为　　，其抽样信号为　　,它们的拉普拉斯变换分别为 　　　　　　　　　　　￡ 　　　　　　　　　　　￡ 应用理想抽样表达式，有 而抽样序列　　　　　的z 变换为 将s平面用直角坐标表示为： 将z平面用极坐标表示为： 因此 注意:s平面与z平面的映射关系不是单值映射，Ω每增加一个,抽样角频率 ，则ω相应增加一个2π，即重复旋转一周，z平面重叠一次。 ２．４．２　z变换与傅立叶变换的关系 　　　傅立叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例，即s=jΩ，因此有 抽样序列在单位圆上的z变换等于其抽样信号的傅立叶变换。 数字频率ω表示z平面的幅角，和模拟频率的关系为　　　。 用数字频率ω作为z平面上单位圆的参数，即　　　， 可得 因而单位圆上的z变换就是序列的傅立叶变换。 ２．５　离散系统的系统函数，系统的频率响应 ２．５．１　系统函数的定义 一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入输出关系，即 ２．５．２　因果稳定系统 　　因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为 　 　　一个线性移不变系统