二数学中蕴涵的美学思想.ppt

二、河图洛书—数学形式美的雏形 《周易》上曾提出一种包含数学知识来源于神的说法，原文是“河出图，洛出书，圣人则之。”其大意是：在伏羲氏时代，从黄河里跳出一匹龙马，背着一幅图，这幅图隐含了很多天机，被称为“河图”，如图(a)。在大禹治水时，洛水出现一只大乌龟，也背着一本包含治理国家的书，被称为“洛书”，如图(b)。这图和书是圣人一切知识的源泉。 图(a) 图(b) 返回 我们撇开神话的色彩，其实河图是由1到10的十个自然数的环形排列图，是把l、3、5、7、9五个奇数和2、4、6、8、10五个偶数按照水(北)、火(南)、木(东)、金(西)、土(中)五行方位排列而成的数字圈。其构图本身就呈现出一种整齐美。 “洛书”对数的结构作了巧妙的再安排，仅用1到9这九个自然数排列成一个正方形，构成每一行、每一列以及两条对角线上3个数的和都是15。显然，“洛书”是“河图”的精简与升华，由“河图”到“洛书”标志着中华民族古代数学文化的飞跃和成熟，是中国的数学、数学美之源。 “洛书”中显现出一种数学形式美的雏形，九个数字之间奇偶相异，给人以整齐划一、均衡对称之感。 返回 西方古代数学家将“洛书”发展为幻方，并以洛书三阶幻方为基础，使阶数不断增高，幻方的结构也随之越来越幻。直至今日，有人仍在研究幻方形成的理论和方法，“洛书”也由此一直被视为大众数学或游戏数学。 探究“洛书”的深层意蕴，其奇妙结构和演算变化建立了它独特的数学形象和模式，并为中外数学家开创了位置分析、数字几何与组合分析的先河。 返回 对偶规划问题： (**) 由对偶定理知，若线性规划问题(*)有最优解，则其对偶规划问题(**)也有最优解, 且两问题的目标函数最优值相等。反之也成立。 返回 返回 例 有A、B、C、D、E五个人站成一横排，如果B必须站在A右边(A、B可不相邻)，有多少种不同站法? 例 求 展开式中的整数次幕各系数的和。 三、和谐美 数学中的和谐美是指数学内容与内容之间、内容与形式之间、部分与整体之间存在着内在的联系或共同规律，从而形成本质上的严谨与统一。 和谐指事物之间具有匀称、有序、明确的变化规律。 1. 严谨是和谐的基础 数学的严谨自然显现出它的和谐。为了追求严谨，消除数学中的不和谐因素，数学家们一直在努力。 数学史上所谓的“数学危机”正是某些数学理论不和谐所致。 返回 第一次危机---无理数的诞生。 第二次危机------实数理论得以建立, 导致集合论的诞生。 第三次数学危机------“罗素悖论”和其它悖论的产生，为了避免悖论，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一种公理系统，后经弗兰克尔(Fraenkel)在1921年加以改进，形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称ZF公理系统。 函数的连续性，是当今数学中的一个重要基本概念，然而它的现代定义的形成，也经历了一个从不和谐到和谐的漫长过程。 18世纪，数学家欧拉认为，由一个单独表达式给出的函数是连续的，而由几个表达式给出的函数是不连续的。例如, 欧拉函数 返回 是不连续的，而由两个分支组成的双曲线(反比例函数)， 因为它是由一个表达式 给出的，就认为它是连续的。 19世纪，傅立叶证明：定义在某个区间上的任意函数可表示成该区间上的正弦与余弦的无穷级数。 比如， 返回 可表示为 这样一来，上述函数依照欧拉的见解既不是连续的，同时又是连续的。 1821年，柯西对“连续”概念重新叙述，直至1850年魏尔斯特拉斯给出“形式” 的定义，才使得“连续”这一概念有了新的解释。 2. 统一是和谐的标志 统一是指数学中内容与内容之间、内容与形式之间、章节与章节之间客观存在的相互联系。 返回 解析几何中, 引入极坐标之后，椭圆、双曲线、抛物线统一于公式 平面上的二次曲线方程 由于系数A, B, C, …, F不同，其形态万千，但是欧拉通过坐标变换，将它们化为下面九种标准形状: 返回 可描绘椭圆、抛物线和双曲线，描绘天体运动和万有引力场中运动物体的轨迹 (双曲线) (两虚直线相交) (虚椭圆) (椭圆) 返回 (两重合直线) (两平行虚直线) (两平行直线) (抛物线) (两相交直线) 返回 在积分学中，不定积分与定积分是两个截然不同的概念，但在微积分基本公式 之中得到和谐统一, 从而极大地推动了微积分的应用与发展。 定