五离散信号与系统的时域分析.ppt

§ 5 离散信号与系统的时域分析 * * 概念：连续信号 是连续时间变量t的函数，记为f (t)。 离散信号 是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数， 记为f (tk)。 离散信号表示： （a）图形表示： 序列 序列 值 序号 一、单位序列和单位阶跃序列 复习 （b）解析表示： （c）集合表示： k＝0 位移单位脉冲序列： 1. 单位序列(单位脉冲序列/单位样值序列/单位取样序列)： 基本离散信号： 迭分： 延时： 乘： 加： 运算 取样性质： 偶函数： (1)定义： (2)运算：同一般离散信号的运算 相加： 相乘： 延时： 2. 单位阶跃序列： (3) 与 的关系： 5.Z序列： z为复数 类比：连续与离散基本信号的对应关系 复指数函数： 复指数序列 单位冲激信号： 单位阶跃信号： 正弦信号： 虚指数信号： 单位脉冲序列 单位阶跃序列 正弦序列 虚指数序列 5.2 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2),…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式： （1）一阶前向差分定义：?f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：?f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： ?[af1(k) + bf2(k)] = a ?f1(k) + b ?f2(k) （4）二阶差分定义： ?2f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k-1)] = ?f(k) – ?f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: ?mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m) 因此，可定义： 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例1：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 注：一般不易得到解析形式的(闭合)解。 二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用yh(k)表示，特解用yp(k)表示，即 y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k) 齐次解 是齐次差分方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 的解。yh(k)的函数形式由上述差分方程的特征根确定。 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 其特征方程为 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ，即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 2. 特解 yp(k) 特解的函数形式与激励函数的形式有关。几种典型得f(k)所对应的特解yp(k)。 例2：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。 解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2)