人大微积分课件多元函数的极限及连续性.ppt

二、多元函数的概念 一 预备知识 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性 第一节 多元函数的极限及连续性 1.邻域 设 是 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记为 ， 的去心邻域 点 一、预备知识 2. 内点 . 的内点 为 则称 的某一邻域 一个点．如果存在点 是平面上的 是平面上的一个点集， 设 . 的内点属于 . 为开集 则称 的点都是内点， 如果点集 例如， 即为开集． 3. 边界 注：　　 0 . 3 也可能不属于 的边界点可能属于 0 ; 2 的外点必定不属于 1 0 ; 的内点必属于 的边界点． 为 ），则称 可以不属于 ，也 本身可以属于 的点（点 也有不属于 的点， 于 的任一个邻域内既有属 如果点 的边界． 的边界点的全体称为 E E 4. 连通集 5. 区域 连通的开集称为区域或开区域． 开集 且该折线上的点都属于 是连通的． ，则称 连结起来， 任何两点，都可用折线 内 是开集．如果对于 设 开区域连同它的边界一起称为闭区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 6 有界点集、无界点集 无界点集． 为有界点集，否则称　为 则称 即 ， 不超过 的距离 与 使任意的 ， 如果存在正数 的某一定点 对于点集  例如， 7 n维空间 设两点为 比如： 当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离． 设 为取定的一个自然数，我们称 元数组 的全体为 维空间，而每个 元数 组 称为 维空间中的一个点，数 称为该点的第 个坐标 . 类似地可定义三元及三元以上函数． 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 D y x P ) , ( ，变量 z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 y x , 的二元函数，记为 ) , ( y x f z = （或记为 ) z 当 时， 元函数统称为多元函数. 　　多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念． 1 多元函数的定义 解 所求定义域为 解 所求定义域为 例1 求 的定义域． 例2 求 的定义域． 2 二元函数 的图形 ) , ( y x f z = 设函数 ) , ( y x f z = 的定义域为 D ，对于任意 取定的 D y x P ) , ( ，对应的函数值为 ) , ( y x f z = ，这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 ) , , ( z y x M ， 当 ) , ( y x 取遍 D 上一切点时，得 到 一个空间点集 } ) , ( ), , ( | ) , , {( D y x y x f z z y x = ，这个点集称 为二元函数的图形 . 说明：二元函数的图形通常是一张曲面. 　　如二元函数　　　　　　　　　的图形是以原点为球心，半径为　的上半个球面； 　　而　　　　　　表示以坐标原点为顶点的上半个锥面． 三、多元函数的极限 聚点 设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E ，则称 P 为 E 的聚点 . 内点一定是聚点； 说明： 边界点可能是聚点． 例 (0,0)既是边界点也是聚点． 定义 1 设函数 ) , ( y x f z = 的定义域为 ) , ( , 0 0 0 y x P D 是其聚点，如果对于任意给定的正 数 e ，总存在正数 d ，使得对于适合不等式 d - + - = 2 0 2 0 0 ) ( ) ( | | 0 y y x x PP 的一切 点，都有 e - | ) , ( | A y x f 成立，则称 A 为函数 ) , ( y x f z = 当 0 x x ， 0 y y 时的极限， （或 ) 0 ( ) , ( r A y x f 这里 | | 0 PP = r ） . 记为 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 证 例1 求证 当 时 原结论成立 证 例2 求证 当 时， 所以结论成立． 证 其值随k的