信号与系统课件序列的Z变换.ppt

§2.5 序列的Z变换 2.5.3 Z反变换 * 时间连续系统中： L变换 （S平面） F变换 （虚轴） F变换 j? 0 S平面 时间离散系统中： F变换 （单位圆） Z变换 （Z平面） F变换 0 e j? Z平面 2.2.1 Z变换的定义及收敛域 定义: 双边Z变换 单边Z变换 Z变换存在的条件： 收敛域 令 ，代入收敛域 得到： 0 通常Z变换是一个有理函数 在极点处Z变换不存在，因此收敛域内没有极点 FT和ZT之间的关系： F变换 0 e j? Z平面 条件： 收敛域中包含单位圆 收敛条件 对Z变换： 显然F变换的收敛条件相对较严格，例如u(n)的F变换不存在，但Z变换就存在 对F变换： 例1： 例2： X (z)收敛域不包含单位圆，故傅立叶变换不存在，引进奇异函数 则其傅立叶变换可以表示出来 注1： 注2： 一个序列的傅立叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是存在的 （收敛域） 2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列 收 敛 域 1，有限长序列 ? ? ? ? ? n 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因果性 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 非因果性 非因果性 例 求 的Z变换和收敛域。 解： 收敛域为 几乎整个Z平面 0 其它 2，（无限长）左序列 0 n 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 非因果性 0 ? n ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 非因果性 序列 收 敛 域 解： 存在要求 收敛域为 0 e j? 例 求 的Z变换及收敛域。 圆内部 收 敛 域 序 列 3，（无限长）右序列 因果性 ? n 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 包括∞ 非因果性 ? n 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 不包括∞ 收敛域 0 e j? 例： 解： 即 不同的序列具有同一Z变换形式,但收敛域不一样 圆外部 4，（无限长）双边序列 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 非因果性 收 敛 域 序 列 双边序列可以表示成一个左序列和一个右序列之和 假设 ， 的收敛域是 和 收敛域的公共区域。 如果 ,则收敛域为 如果 ， 两个收敛域没有公共区域， 不存在。 环 例 为实数，求 的Z变换及收敛域. 解 ＝ 的收敛域为 ，即 的收敛域为 ，即 如果 公共区域为 当 ， 不存在。 -6 -4 -2 0 2 4 6 二，留数法（围线积分法） 若 则 C C是收敛域内反时针环绕原点的一条封闭曲线 实际求Z反变换，因直接计算围线积分很麻烦，而是利用其它方法求解： 若 在围线C以内, 所有的极点集合为 ， k=1,2..K 则根据留数定理 一，Z反变换定义 式中 表示被积函数 在极点 的留数， 逆Z变换是围线c内所有极点的留数之和。 如果 ① 为单阶极点， 则 ② 为S阶极点， 则 例1，已知 试求Z反变换 解： C 当n?-1时，围线内只有一个单阶极点 当n?-2时，围线内有一个单阶极点 ，还有极点z=0 (-n-1阶） 综合后，得到 若 在围线C以外, 所有的极点集合为 , m=1,2,.M ? 留数定理的另一公式： 留数计算同前 利用本公式，对上例n?-2下求x(n)较方便，只需计算围线外一个一阶极点z=4的留数。 （本公式应用的条件：要求 的分母多项式z的阶次须比分子多项式的阶次高出二阶或两阶以上） 则，还有 后一项 例2，X(