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第6章 拉普拉斯变换和传输函数表示 6.1 信号的拉普拉斯变换 6.2 拉普拉斯变换的性质 6.3 拉普拉斯反变换的计算 6.4 输入/输出微分方程的拉普拉斯变换 6.5 输入/输出卷积积分的拉普拉斯变换 6.6 传输函数的直接构成 6.1 信号的拉普拉斯变换 6.2 拉普拉斯变换的性质 6.3 拉普拉斯反变换的计算 拉普拉斯反变换变换(inverse LT,ILT)定义： 6.4 输入/输出微分方程的拉普拉斯变换 6.5 输入/输出卷积积分的拉普拉斯变换 6.6 传输函数的直接构成 第6章 结束 电气工程系平台课 《信号处理技术》 HIT_Prof. Liu X.S. HIT_PEED 电气工程系平台课 《信号处理技术》 HIT_PEED HIT_Prof. Liu X.S. 哈尔滨工业大学电气工程系专业技术基础课 连续时间信号系统的数学模型： 微分方程模型 系统函数模型等 连续时间信号系统响应的分析方法： 时域卷积法 拉普拉斯变换后的s域分析法 拉普拉斯变换的提出 19世纪末，英国工程师O.Heaviside(1850-1925)发明了“算子法”，解决了电力工程计算中的遇到的一些基本问题，但缺少严密的数学论证。 法国数学家拉普拉斯P.S.Laplace(1749-1825)变换后的s域分析法 连续时间信号x(t)的傅里叶变换： 连续时间信号x(t)傅里叶变换存在条件： 一些常见信号不满足傅里叶变换存在条件： 例：单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换不存在！ 可以信号通过在被积函数上增加一个指数收敛因子使其傅里叶变换存在 即： 令： 则上式可表示为： 即： 单位阶跃信号的拉普拉斯变换存在。 上式为拉普拉斯变换存在的收敛域！ 双边拉普拉斯变换(bilateral Laplace Transform, LT) 定义的一般形式： 令： 则拉普拉斯变换定义： 对比傅里叶变换定义： 单边拉普拉斯变换(unilateral LT)定义的一般形式： 也可以写成： 双边拉普拉斯变换也称指数变换或广义傅氏变换。 拉普拉斯变换变换对符号： 正变换： 反变换： 拉普拉斯反变换变换(inverse LT,ILT)定义： s称为复频率(complex frequency),其集合称为复频域，或s域；相关分析方法称之为s域分析。 拉普拉斯变换变换收敛域(ROC): 称使x(t)存在LT的σ的取值范围为其LT的收敛域(Region of Convergence,ROC) 例：指数函数的拉普拉斯变换： 。 b为任意实数。 当 上式成立 当 上式不成立。 即：ROC是 傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系 信号x(t)的双边拉普拉斯变换可以看作是x(t)傅里叶变换的推广。 当t0时，信号x(t)=0，则傅里叶变换可以直接由单边拉普拉斯变换得到，即： 拉普拉斯变换： 傅里叶变换： 当且仅当 时成立。 当x(t)=u(t)时，上式不成立！因为其收敛域Re s0,不包括Re s=0. 线性性质 例： 时间右移性质 例：脉冲的拉普拉斯变换。 C为任意正实数 用单位阶跃函数表示x(t): 时间尺度变换 例：u(at)的拉普拉斯变换。 乘以t的幂性质 特例 例:求单位斜变函数的拉普拉斯变换。 例:幂乘以t的函数的拉普拉斯变换。 令: 则: 所以: ) ( ) ] [ ( ] [ 2 m k X W n x e n x mn N n N m j - ? = - p 频域延迟等价于时域频率的提高 乘以指数函数的性质 对比CTFT的频移特性: 对比DFT的频移特性: 特例 例:求下面函数的拉普拉斯变换。 其中,c是正实数,a是任意实数 令: 则: 所以: 乘以正弦函数的性质 例:求下面函数的拉普拉斯变换。 令: 因为 所以 时域微分的性质 例:求单位冲激函数的拉普拉斯变换。 令 则 所以 即 积分的性质 例:求单位斜变函数的拉普拉斯变换。 令 则x(t)的积分是单位斜变函数r(t)=t u(t) 所以 卷积性质 初值定理 终值定理 有理拉普拉斯变换 单极点 说明： 例： 单极点且有两个或多个复数极点 若： 则： 一阶线性时不变连续时间系统 有 定义 有 H(s)称为传输函数 例：RC电路 根据电压定律，有 当x(t)为阶跃函数u(t)时， 线性时不变连续时间系统 例：求系统的传输函数。已知输入和输出响应如下： RLC电路 基本的系统元件的运算 方框图的传输函数 并联连接 串联连接 反馈连接 第八次课完 自动化与驱动培训中心 ST-7SSP1 SIMATIC S7 系统概述 1- * Seite *