元函数的连续性.ppt

返回 后页 前页 §3 二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 一、二元函数的连续性概念 ※ 连续性的定义 若 只要 , 就有 则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形 下, 也称 f 在点 连续. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数. 定义1 设 f 为定义在点集 上的二元函数, 由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 连续等价于 如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或 称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5 是 f 的可去间断点. 时, 给出的函数在原点不连续.又若把上述例3 的函数改 为 上，这时由于 其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 在坐标原点的连续性． 因此 此时 f 在原点连 因此 f 在原点沿着直线 是连续的． 例1 讨论函数 解 由于当 续; 而当 不存在， 此时 在原点间断． ※ 全增量与偏增量 设 量形式来描述连续性, 即当 为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 时, f 在点 连续. 如果在全增量中取 则相应得到的 增量称为偏增量, 分别记作 一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和. 若一个偏增量的极限为零, 如 则表示当固定 时, 作为 x 的函数, 它 在 x0 连续. 同理, 则表示当 容易证明:当 f 在其定义域的内点 　连续时, 在 x0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 固定 时， 在 y0 连续. 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 连续．试证在下列条件之一满足时， 处处连续： (i) 对其中一个变量 (例如 y) 满足李普希茨条件, 即 使得对任何 (ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y) 是一致的, 即 (iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明). 证(i) 又当 (ii) 又由 f 对 x 的连续关于 y 是一致的, 故 这就证得 ※ 连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元 若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以 证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性 复合函数的连续性定理, 其余留给读者自己去练习. 定理16.7 (复合函数的连续性) 设函数 和 义, 并在点 Q0 连续, 其中 则复合函数 在点 P0 也 连续. 证 由 f 在点 Q0 连续可知： 使得当 在点 的某邻域内有定义, 并在 点 连续; f (u, v) 在点 的某邻域内有定 时, 有 又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述 使得当 时, 有 综合起来, 当 时, 便有 所以 在点 连续. 二、有界闭域上连续函数的性质 本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元 函数 f 在有界闭域 上连续, 则 f 在 D上有界, 且能取得最大值与最小值. 证 先证明 f 在 D 上有界. 倘若不然, 则 存 使得 在 于是得到一个有界