像艺术家样思考.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * 左、右极限(单侧极限) 例如, 两种情况讨论得： 此时存在的极限叫左极限， 此时存在的极限叫右极限， 极限为0 定义 * 函数在点a 处极限存在的充分必要条件是: 在a处左右极限存在而且相等. 对分段函数的分段点处的极限，由于用不同的公式表达， 所以要从左右极限入手解决. 解 求a 的值,使函数在x = 1 例43 设 处的极限存在. 所以当 函数在x = 1 处的极限存在，极限值是2. 结论： * 试证函数 证 左、右极限不相等, 故 例44 * 思考题 1. 如果函数 在 没有定义， 是否存在？ 2. 如果函数 是否存在？ 3. 如果函数 那么 吗？ 4. 如果 是否存在？ * 在 不连续， 2.7 函数的连续性 而函数 函数的连续性是微积分的又一个基本概念. “连续”给我们直观的感觉就是连绵不断， 说曲线可以“一笔画成”. 或者 如函数 的图象 1 1 0 y x 出现了间断. * 连续, 定义2.4 函数在一点连续 形式1 设函数 f (x)在 内有定义, 若 则称函数f(x)在x0处 并称x0为函数f(x)的连续点. 形式2 若 则称函数f(x)在x0处 连续. 充分必要条件 * 左、右连续 左连续. 右连续. 左连续 右连续 * 结论 此结论常用于判定分段函数在分段点 处的连续性. * 设 解 (1)因为 所以 必需且只需 即 即 * 间断点至少出现如下三种情形之一: 无定义; 不存在; 间断点. * 间断点分为两类: 第二类间断点 第一类间断点 左右极限均存在, 左右极限中至少一个不存在. 若二者相等， 称 为可去间断点. 若二者不等， 称 为跳跃间断点. 若其中有一个为振荡, 若其中有一个为 称 为无穷间断点. 称 为振荡间断点. * 例45 由于函数 无定义, 故 为f(x)的 间断点. 且 皆不存在. 第二类 且是无穷型间断点. * 例46 有定义, 不存在, 故 为f (x)的 间断点. 第二类 且是无穷次振荡型间断点. 之间来回无穷次振荡, * 例47 有定义, 故 为f (x)的 间断点. 第一类 且是跳跃间断点. 左右极限不相等， * 例48 讨论函数 解 为函数的 间断点. 第一类 且是可去间断点 不难得出左右极限存在且相等， * 解 函数无定义, 是函数的间断点. 由于 所以 是函数的第二类间断点, 且是无穷型. 并指出其类型. * 由于 所以 是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. - ? 1 x + ? 1 x 并指出其类型. * 定义2.5 连续函数与连续区间 函数在区间I上 一个函数如果在区间I上每个点都连续， 这时也称该区间为 连续, 连续区间. 则称该 函数是其定义域上的连续函数, 一个函数如果在定义域内的每个点都连续， 则称这个 简称连续函数. * 结论1 则 关于连续函数有结论： 也在点 x0连续; 在点 x0连续; 在点 x0连续. 结论2 单调的连续函数 必有单调的连续反函数. * 证明： 构成复合函数 在 连续，即 在 连续， 则 说明复合函数在 连续. 两个连续函数复合而成的函数是连续函数. 结论3 设 即 * 三角函数及反三角函数 (1) (2) (3) 是连续的; 单调且连续; 指数函数 对数函数 单调且连续; (4) 幂函数 在定义域内连续. 在它们的定义域内 结论４　基本初等函数在定义域内是连续的 * 定义区间是指包含在定义域内的区间. 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经有限次四则运算和复合仍连续 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 注　 在其定义域内不一定连续; 初等函数在其定义区间内连续. 定理2.5 * 例49 例50 解 解 初等函数求极限的方法 直接代入法. * 例51 解 * 在闭区间 在开区间 右连续 左端点 右端点 左连续 内连续 2.8 闭区间连续函数的性质 函数 上连续是指： * 在闭区间上连续的 注 条件“闭区间”和“连续性” 定理2.6(最大值和最小值定理) 函数一定有最大值和最小值. 是不可少的. * 在开区间(0,1)内连续, 又如: 在闭区间[0,2]上有 函数f (x)在[0,2]上 既没有最大值, 如: 函数 但不存在最大值和最小值. 也没有最小值. 间断点 函数 * 几何意义: 至少有一个交点. 定理2.7(介值定理) 使得 在闭区间上连续的函数一定 可以取到介于其最大值和最小值之间的任何值. 即对