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第一章 傅里叶光学基础 第一章 傅里叶光学基础 1．1 二维傅里叶分析 1．2 空间带宽积和测不准关系式 1．3 平面波的角谱和角谱的衍射 1．4 透镜系统的傅里叶变换性质 1.1 二维傅里叶分析 1.1.1 定义及存在条件 复变函数器 g(x,y) 的傅里叶变换可表为 G(u,v) = F {g(x,y)} = ??∞- ∞g(x,y)exp[-i2?(ux+vy)]dxdy (1) 称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。(1)式的逆变换为 g(x,y) = F -1{G(u,v) } = ??∞- ∞G(u,v)exp[i2?(ux+vy)]dudv (2) 傅里叶-贝塞尔变换 设函数g(r,?) = g(r) 具有圆对称， 傅里叶-贝塞尔变换为 G(?) = B {g(r)} = 2? ?∞org(r)Jo(2??r)dr 其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数 傅里叶-贝塞尔逆变换为 g(r) = B-1 {G(?)} = 2? ?∞o ? G(?)Jo(2??r)d? 变换存在的条件为 (1) g(x,y)在全平面绝对可积； (2) g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何 有限的区域内只有有限个极值； (3) g(x,y)没有无穷大型间断点。 以上条件并非必要，实际上，“物理的真实”就是变换存在的充分条件。 以下我们常用 g(x,y) ? G(u,v) 表示变换对． 对于光学傅里叶变换，x，y是空间变量，u，v 则是空间频率变量。在一维情况下，有时也用希腊字母 v 表示频率变量。 1.1.2 δ函数的傅里叶变换 由δ函数的定义容易得到 δ(x-xo , y-yo) ? exp [-i2?(uxo+ vyo)] (3) 当 xo=0，yo= 0 时得到 δ(x, y) ? 1 (4) 上式的物理意义表示点源函数具有权重为 l 的最丰富的频谱分量．因此光学中常用点光源来检测系统的响应特性，即脉冲响应．(3)式还可表为, δ(x-xo,y-yo)=??∞- ∞exp{-i2?[u(x-xo)+v(y-yo)]}dudv 它正是δ函数的积分表达式． 根据δ函数的偏导数的定义 ?∞- ∞ δ(n)(x)g(x)dx = (-1)n g(n)(0) (6) 得到δ(k, l)(x,y)的傅里叶变换 δ(k, l)(x,y) = ?k+lδ(x, y)/ ?xk ?yl ) ? (i2?u)k (i2?v)l (7) 1.1.3 傅里叶变换的基本性质 (1) 线性 ( linearity ) Ag(x,y) + Bh(x,y) ? AG(u,v) + BH(u,v) (8) (2) 缩放及反演(scaling and inversion) g(ax,by) ? G(u/a, v/b)/|ab| (9) 上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩. 特别是当 a = b = -1 时，得到反演的变换性质： g(-x, -y) ? G(-u, -v) (10) (3) 位移(shift) g(x+xo, y+yo) ? exp[i2?(uxo+vyo)]G(u,v) (11) 上式表示原函数的位移引起变换函数的相移. (4) 共扼(conjugation) g*(x, y) ? G*(-u, -v) (12) (5) 卷积 (convo1ution) g(x,y)和h(x,y)的卷积定义： g(x,y)?h(x,y) = ??∞- ∞g(?, ? )h(x-?,y-?)d?d? 易证明: g(x,y) ? h(x,y) ? G(u,v) H(u,v) δ函数的卷积有特殊的性质： g(x) ?δ(x-xo) = g(x-xo) (15) g(x,y) ?δ(k, l)(x,y) = g (k, l)(x,y) (16) (6)导数的变换公式可由(7)式导出 g(k, l)(x,y) ?