八与积分路径无关的条件.ppt

证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) 内容小结 思考与练习 2. 设 * * 第四节 一、平面上曲线积分与路径无关的 条件 平面曲线积分与 路径无关的条件 第八章 一、平面上曲线积分与路径无关的条件 定理8-4. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则 (根据条件(1)) 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关, 有函数 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 利用格林公式 , 得 所围区域为 证毕 说明: 根据定理2 , 若在某区域内 则 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 例1. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围 原式 圆周 区域为D , 则 3 64 8 + = p 例2. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 。 。 例3. 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 4 可知存在原函数 或 例4. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示: 提示: *