六多元函数微积分张建梅.ppt

四、多元函数的连续性 x + y = 0 x y o 如图 y –x D (不包括直线x + y = 0) 例. 解: 故 故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括圆周). x y o x2 + y2 = 1 (包括圆周) D 例6.2.1求函数 解 定义域 中的点 应满足条件 故所求定义域为 的定义域 故得 即有 设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D . 按二元函数定义, ?X = (x, y)?D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z). 2.二元函数的几何意义 当 X 在 D 中变动时, 点 M (x, y, z)在空间中变动, 当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中 织 出一片曲面. 即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 xOy 面上的投影区域. 二元函数的图形通常是一张曲面. 回忆一元函数的极限. 设 y = f (x), 当 x 不论是从 x0的左边 还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A. 表示 如图 x y A 0 f (x) f (x) y = f (x) x0 x x x ? x0 就是?? 0, ??0. 当0|x – x0| ? 时, 有|f (x) – A | ?. 三、二元函数的极限 设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图 D z = f (x, y) X X 如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限. M X0 A y z x o f (X) 设二元函数 z = f (X) = f (x, y). 定义域为D. X0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数. 若 ?? 0, ?? 0, 当 对应的函数值满足 | f (X)– A | ? 则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限. 记作 或 也可记作 f (X) ? A(X ? X0)或 f (x, y) ? A (x ? x0, y ? y0 ) 定义6.2.2 如图 x x0 x x x o X0 X D 对二元函数 f (X), 如图 有 ? 点X以任何方式、任何方向趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A. D z = f (x, y) X f (X) M X0 A y z x o 1.因此, 如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限 2.若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限 3.极限定义可推广到三元以上函数中去, 且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同. 注： 例6.2.3 证 令 则 注? 在可能的情况下通过换元，变成一元函数的极限，所有一元函数求极限的方法都可以用，如罗比塔法则、重要极限等. 例6.2.4 解 设f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在. 证: 方法一：由注2知, 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可. 例6.2.5 考察 点(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形. 如图 对应函数值 x o y 从而, 当 点 (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限 当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 . 方法二：请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形. 沿 x 轴, y = 0. 函数极限 = 0 沿 y 轴, x = 0. 函数极限 = 0 但不能由此断定该二重极限为0 (注2). 因为沿直线 y=x, 函数极限 由此断定该二重极限不存在 方法三 利用极坐标代换 ，则 令 上述极限随 角度的变化而变化，因此函数在极限不存在? 1.定义6.2.3 定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面. 这里条件 D 是一区域 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面. 2. 二元连续函数的几何意义: 补充例. 设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数}? R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数, 即 f (x,