六无限弹性介质中的波.ppt

射线以及波前传播 §6-1无限弹性介质中的平面波：纵波和横波 §6-2无限弹性介质中的波：无旋波和等容波 §6-3 弹性介质中波的传播速度 §6-4 无限弹性介质中的球面波 §6-5 无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波 §6-6 能量密度和能流密度 研究平面波的一般情况。 设此平面波平行于x轴方向传播，介质质点的位移分量为： 代入拉梅方程，得： 平面纵波的波动方程。 平面横波的波动方程。 平面横波的波动方程。 在一般情况下，平面波在介质中传播时，介质质点的位移分量应适应上式。 平面波在传播中分解为两个部分： 纵波，传播速度为： 横波，传播速度为： 结论： 在无限弹性介质中，只能传播两种平面波。平面纵波和平面横波。 进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。 一、若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点，即 相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波，又称胀缩波或集散波。 于是在弹性介质内存在一标量位 位移矢量 代入拉梅方程，可以得到： 此为无旋波的波动方程。 即无旋波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。 可以证明：平面纵波就是无旋波的一种特殊情况，在地震勘探中一般将无旋波称为纵波。 二、当波传播时，在弹性介质中，介质质点发生的位移，适合体积应变为零的条件，这种位移状态的弹性波称为等体积波，简称等容波，或旋转波、畸变波。 代入拉梅方程有： 此为等容波的波动方程。 即等容波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。 可以证明：平面横波就是等容波的一种特殊情况，在地震勘探中一般将等容波称为横波。 研究无限弹性介质中的一般波动，介质质点的位移矢量为： 为无旋波的位移矢量 为等容波的位移矢量 由场论分析可以知道，一个矢量场，如果定义域内有散度和旋度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋度场之和来表示。 作用在弹性介质中的体力在弹性介质所在空间内形成一个矢量位，因此它也可以写成一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋度场之和来表示。 代入拉梅方程可以得到： 用标量位表示的无旋波的波动方程。 用矢量位表示的等容波的波动方程。 在无限弹性介质中，一般情况下，只有两种类型的弹性波，即无旋波和等容波。 如果在介质中有各种原因造成的波动，则其中每一个波动的存在和分配都和另一个无关。介质中总的波动为个别“单”波动的和。从波动方程的线性而导出的这个原理，称为叠加原理。 首先研究平面波的情况，任一平面波在弹性介质中传播时，介质质点的位移分量一般可以表示为： l，m，n为平面波的法线，与波的传播方向一致。 c为传播速度。 ‘表示xl+ym+zn-ct的微分。 代入拉梅方程，整理得到： 若位移能在弹性介质中存在，上式中加速度一定有非零解 化简得： 证明了任意平面波，不论它的传播方向如何，波速就两种情况。 现在研究一般情况。 我们以波前（波阵面）的推进来阐述波的传播面貌，故在弹性介质中（各向同性），波的传播速度理解为波前沿其外法线方向扩展的速度。 可以证明：在在各向同性弹性介质中，不论波前的形状如何，波的传播速度一般只有两种。 三维波动具有共同的形式： C为波速。对于无旋波 对于等容波 F为相应的波动函数。 由球对称性，设： r为介质内任一点对坐标原点的矢径大小 表明以原点为中心的任一球面，各点F值在同一瞬时都相等，因此相应的波动为球面波。 此式为关于rF的一维波动方程。 其通解为： 球对称问题的解或为球面波的解。 是由原点向外以波速c传播的波 是向着原点以波速c传播的波 振幅随着r的增加成比例地减少。 由场论中有关公式可得： 不计体力，则球对称问题以位移表示的运动微分方程可以写为： 球对称问题，运动是无旋的，于是存在一个标量位 对r积分一次，得到： 此为线性非齐次偏微分方程，其通解为齐次的通解和任一非齐次的特解之和。 此为波动方程 通解为： 上式为波动方程的球对称解。 设介质中有一球形空腔，半径为δ 球腔内部发生爆炸，在腔壁上产出一均匀分布的压力，其压强为p。 在它的作用下，介质内任一个微体不产生转动，仅产生膨缩变形。故介质中由此产生的波为球面无旋波或球面纵波。 求介质中任一点M的位移 在此情况下，介质中传播的是球面纵波 由球面波的波动方程 其位移场的标量位为： 根据问题的条件，在介质中只能产生由震源（球面空腔源）向外传播的波，故取第一项。 为了确定此函数，考虑初始条件和边界条件。 初始条件为： 边界条件为：在球腔表面处，即