农大离散数学课件九.ppt

* 9.1 树 的 概 念 树：连通而不含回路的无向图称为无向树，简称树，记作 T。 森林：连通分支数大于等于2，且每个连通分支均是树的非连通无向图。 平凡树：平凡图为平凡树。 一、树的概念 树叶：设T = V,E 为树，如果v?V且d(v) = 1，则v为树叶 (度数为1的顶点)；如果d(v)?2，则称v为分支点。 注：本章所提回路均指简单回路或基本回路，如(树例)： (1) (2) (3) (4) 树的等价意义： (1) G连通而不含回路； (2) 每对顶点之间具有唯一一条简单通路 (3) 连通且n = m+1 ( |V| = n，|E| = m ) (4) 无回路且n = m+1 (5) 无回路，但在G中任意两个不相邻的顶点之间增加一条边，就形成唯一一条初级回路。 (6) 连通且每条边都是桥 (7) 连通但删除任何一条边后就不连通 证明：(1) ? (2)，由于G连通，所以每对顶点之间一定存在一条通路。 (2) ? (1) 是容易的。 如果这条通路不是简单通路，则说明有一条边在该通路上出现了两次，与该边关联的两个顶点中至少有一个出现两次，从而该通路中存在回路，与不含回路矛盾。 类似地可证唯一性(自己做！) (1) ? (3) 由于每对顶点间有唯一一条简单通路，所以G连通。 为了证明 n = m+1，采用数学归纳法证明： ? 当 n =2时，由于G连通且无回路，所以只有m = 1，从而n = m+1成立； ? 假设n = k–1 (k?3)时命题成立。 当n = k时，因为G中无回路且连通，故G中必有一条边的一个端点的度数为1(否则存在回路)。 设这条边为(u,w)，删除顶点u，所得的子图G‘仍是连通无回路的，此时G中顶点数少1，即n = k–1 ， 由归纳假设知 k–1 = m+1 ，故 于是再将u及(u,w)加入图G中，得无回路的图G，边数 m = k–2+1 = k–1 ，顶点数n = k–1+1 = k ，从而n = m+1。 m = k–2， 综合? ?知，n = m+1 类似 (1) ? (3)，也可证(1) ? (4) ， (1) ? (5) 设u,v为G的任意不相邻的顶点， 由于G连通，所以u到v有唯一一条简单通路， 若在u,v之间再增加一边，将该边添加到上述简单通路，则得一简单回路， 又因为G中无回路，所以该条简单回路中，除(u或v)之外，没有任何其它顶点相同。 (5) ? (1) 假设G不连通，则至少有两个连通分支， (5) ? (6) (6) ? (7) (7) ? (1) 都不难，自己做一做！ 在两个连通分支中各取一顶点u,v，则即使添加边(u,v)后也不能形成一条过u,v的回路，矛盾。 二、树的性质：任一棵非平凡树 T = V,E ，至少有两片叶。 证明：设|V| = n，|E| = m， 如果T中每个顶点的度数大于等于2，则 因为T是连通图，所以对于任意vi?V，其度数d(vi) ? 1，且 假设T中只有k片叶(度数等于1)，则 又由于 m = n–1，所以2(n–1) ? 2n–k ? k?2 从而树中至少有两片叶。 生成树：若图G的生成子图是一棵树T，称该树为G的生成树T。 可以证明：任何连通图G至少有一棵生成树。 G在T中的边称为 T的树枝。 G不在T中的边称为T的弦，所有弦的集合称为T的补。 三、生成树及其构造方法 如果G中至少有一回路，删去回路上的一条边得图G1，则G1仍是连通的。 类似于G1的讨论并重复下去，总可以得到G的无回路的连通子图T，即G的生成树。 证明：设G中无回路，则G本身为一树。 若G1中无回路，则G1是一生成树； 若G1中仍有回路，删去回路上的一条边得子图G2。 连通图G的秩：设G = V,E 为(n,m)无向连通图，称数m–n+1为连通图G的秩。 可以证明：任何无向连通图G的秩大于等于零，实际上它就是G的生成树T的补的边数。 证明：G = V,E 的生成树T的顶点数与G相同，为n，从而边数为n–1。 因为生成树的边数小于等于原图的边数，故n–1?m即m–n+1?0， 这也说明图G在生成树T的过程中要删去m–n+1条边，这些边的集合构成了T的补。 构造生成树的方法： (1) 破圈法 (2) 深度优先有哪些信誉好的足球投注网站法 (DFS) 深度优先有哪些信誉好的足球投注网站法： (1) 思想：设G = V, E是连通图，在G中任选一个顶点，如v1。 v1沿着一边，如(v1,v2)到顶点v2，接着再沿一边如(v2,v3)到顶点v3，把边(v1,v2)， (v2, v3)用粗线表示。 一般地，当访问到某顶点vp之后，接着访问与vp相邻且未被访问过的顶点vk，将(vp,vk)用粗线表示，再在vk相邻的点中选一个未被访问过的顶点vj，将(vk,vj)用粗线表示。 如