力学量用算符表示与表象变换.ppt

第四章 力学量用算符表示与表象变换 §4.1 算符的运算规则 §4.2 厄米算符的本征值与本征函数 上面两式分别相加减，得 满足厄米算符的定义 在物理实验中所用的物理量与厄米算符有何关系？ 因此相应的算符对应于厄米算符 物理可观测量要求在任何状态下的平均值为实数 即物理可观测量用厄米算符表示。 ﹟ 而在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符 必为厄米算符。 即 厄米算符平方的平均值必是不小于零的数。 前面我们介绍了几个算符： 复共轭算符 厄米共轭算符 逆算符 转置算符 单位算符 厄米算符 算符都有的属性： 单位算符 复共轭算符 转置算符 算符可能有的属性： 逆算符 厄米共轭算符 厄米算符 要注意区别使用。 （6）算符的函数 类似地，可定义算符的函数 例： 不难看出，利用泰劳展开，有 先对算符求n次导数 再令算符为0求值 两个或多个算符的函数可类似地定义, 类似于多元函数 ﹟ 作业：p131-132 1,2 p162 3 1、本征值与本征函数 处于ψ 态中，测量力学量A，可得到各种 值，这些值有一定的几率分布。 对于都用ψ来描述其状态的大量相同体系进 行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向 于一个确定的值。 见下表： 多次测量 定义每一次测量结果范围绕平均值的涨落-- 即由上式得 上述方程加上相应的数学和物理要求（边界 条件），构成了量子力学的本征值问题，解此 问题可得力学量的本征值和本征函数。由此有 此时 量子力学的又一基本原理： 下面介绍两个定理： 定理1 厄米算符的本征值必为实数 （要会证） 定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数 彼此正交。 证明： 以上两式相减，得 对方程 ﹟ 2、举例 解：这是个定轴转动问题，z为转轴，变量为φ 本征值方程为 解之得 利用周期性边界条件 所以，相应的本征函数为 ﹟ 解： 与以上问题的区别—这里求 的是能量的本征值和本征态 考虑绕z轴转动的平面转子 (如右图)。 式中I为转动惯量。 其Hamiltonian为 或简写为 其正交归一化的解可取为Lz的本征态 相应的本征能量为 与第一章习题4(p14)结果进行比较。 也就是说，能量是二度简并的。 发现： 平面转子的角动量z分量本征态和能量本 征态可具有相同的函数形式。 为什么？ ﹟ 解：动量的x分量的本征值方程 动量的本征值 上式改写为 其解为 若粒子位置不受限制，则 可以取一切实数值。 归一化的平面波， 与连续的本征值 相应的波函数所表示的是不能 习惯上取 则有 平面波的“归一化”就用δ函数的形式表示 了出来。 在三维情况下，动量算符的本征值方程是 动量算符的本征值 在直角坐标系中的三个分量px, py 和pz 均为实数。动量本征值方程的解是 为 的单色平面波。 * * 线性算符： 如果算符?满足下列条件 则算符?是线性算符 刻画可观测物理量的算符都是线性算符。 （通常） ﹟ 这是算符最基本的运算。 对于任意的波函数都成立 （4）算符对易 讨论两个算符是否对易，一般是将它们作 用在任意波函数上，看它们是否相等。 若相等,则对易。 即 比如将要讨论的位置算符 而 因为对任意波函数ψ： 那么 若一力学量有经典对应，可用这个关系导出 其对易式。 ①对易关系的运算性质： ②角动量算符的对易关系 角动量 在直角坐标系中的分量表达式 其中 类似可得角动量分量与动量分量的对易关系： 下面证明与角动量平方有关的一个对易式。 得证。 ﹟ ③有关角动量的升降算符及其对易关系 引进升降算符 （希望会证） 下面看角动量算符在球坐标中的表示 在球坐标中， 以及 利用 从而有 ﹟ 可以理解吗？ 显然 得证。 （课下证） 由于 又由于 所以 上述算符方程两边同左乘以 所以 算符 的复共轭算符 将表达式中的所有量，都换写成其复共轭。 例 动量算符的复共轭算符 （4）转置算符 利用内积的定义，有 则转置算符的表达式也可以写为 即：去掉“~”，换位复共轭。要会转换！ 一维粒子 三维粒子 其中对体积元： 对任意满足标准条件的波函数ψ、φ ？ （5）厄米共轭算符 显然在坐标表象中 同样可以证明 作业：1. P87 练习1 2. P90 练习3 按照转置算符A的定义，有 则有 ～ 即 ～ 故对任意态ψ和φ，有 ～ 但是 利用转置的性质，可以证明： 下面介绍一个特别重要的算符 厄米算符： 满足下列关系的算符是厄米算符 或 所以 提示：可以首先证两个算符的关系 利用厄米共轭算符的定义式 结合上页定义可以得到 因此，厄米算符的定义式也可以写为 （已经知道 ） ﹟ 在体系的任何状态下，其