动力学专题单自由度系统的振动.ppt

* 第20章 动力学专题：单自由度系统的振动 《大学物理》下册（天大李金锷编）第一章详细阐述了单自由度系统的振动，包括振动方程的建立、各种基本概念、有阻尼与无阻尼自由振动和强迫振动解的性质（运动规律及其各种现象）。这些内容与本章大部分内容相同，故不再详细介绍。 本课主要讲解以下内容： ① 振动的二重性； ② 振动的分类。 2. 用理论力学各种动力学理论建立振动微分方程，而不仅是用牛顿第二定律。主要是刚体及刚体系统的振动问题。 3. 固有频率的求法； 4. 振动在工程中的应用。简介弹性体的振动，固有频率、固有振型、模态的概念。 1. 概述： 振动是一大类特殊的动力学问题，是动力学与控制（一般力学）专业研究的主要内容之一。 §20-1 概 述 1. 振动（机械振动）——特殊的运动形式，特殊的动力学现象。 一个振动系统必须伴随保守力场的存在。常见有弹性力场、重力场。 描述振动规律的方程为关于坐标的二阶微分方程（组）。 2. 振动的二重性： 缺点：振动过大引起系统动态特性不良、噪音过大，大多数问题中应避免振动过大。解决办法：①改变结构；②振动控制（如隔振）。 优点：利用振动。如振动机械；一些测量仪器中利用临界阻尼以使指针平稳等。 3. 振动的分类： ① 按自由度分类： a. 单自由度振动系统：常微分方程 如： 物理形式 数学形式 或 同学举例 事实上 动静法 外部激振力 惯性力 阻尼力 (弹性)恢复力 b. 多自由度振动系统：常微分方程（组） c. 弹性体振动（无穷多自由度）：偏微分方程（组） 如： 加速度列阵 速度列阵 位移列阵 激振力幅值列阵 均为n 阶 均为n×n 阶 质量矩阵 阻尼矩阵 刚度矩阵 如等直杆的无阻尼纵向强迫振动方程： ② 按振动微分方程分类： b. 非线性振动： a. 线性振动： 如 如 (广义van der Pol方程) 两种方程（系统）在解法上和解的性质上存在本质的差异： 大部分非线性方程不存在封闭解，只能得到近似解或作定性分析； 非线性系统的解不再具有迭加性； 非线性振动（非线性动力学）是目前数学、力学、物理学、生物学、社会科学等多个领域研究的热点和前沿。 ③ 按受力分类： b. 强迫振动（受迫振动）： ④ 按解的周期性分类： a. 自由振动： b. 非周期振动： a. 周期振动：解是周期的。 有阻尼自由振动（衰减振动）： 如 如 无阻尼自由振动： 如 如简谐振动（线性系统），倍周期运动（非线性系统） 如自由衰减振动（线性系统），概周期运动、混沌运动（非线性系统） 了解上述概念对今后的学习和工作是有益的！ 如：非线性转子（有非线性油膜力和汽流力）在不平衡激励（周期的）下的响应（辛晓辉2005）： 周期1 周期2 周期4 混沌 分岔图 相图 Poincaré映射图 混沌吸引子 P Q Q ? C O A B §20-2 振动微分方程的建立 除牛顿第二定律外，可以试用各种动力学方法建立振动微分方程。只是将列出的动力学方程写成位移坐标的导数形式——事实上是含（角）加速度的动力学方程。 例1 （例12-1改） 在重物下加弹簧，设初始静止，弹簧为原长，弹簧系数为k。可用多种方法建立振动微分方程。 对本题，你会用什么方法？哪种方法有效？ ① 动能定理； ③ 动量定理； ④ 动量矩定理； ⑤ 达朗贝尔原理（动静法）； ⑥ 动力学普遍方程； ⑦ 拉格朗日方程。 √ √ √ √ √ × ②机械能守恒定律； √ 对本题，共6大类方法有效。 解：（动能定理）研究整体。 设重物自初始上升s，各物体速度如图。 代入(1)式，整理得 对t求导，得 代入(2)式，整理得标准振动方程： (1) (2) 含常数项，非标准形式 你可以试一下其它方法。 事实上，x 为重物从平衡位置开始的位移（坐标） ? P Q Q v vC ? ? C O A B s s x x §20-3 固有频率的求法 一、通过建立振动微分方程求 二、能量法 两种方法： 对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，你已经会用各种动力学方法建立振动微分方程，写成标准形式： 固有频率指无阻尼线性系统的固有频率。 ?0 即系统的固有频率（圆频率）。 对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，其解一定为： 位移振幅： 速度振幅： 最大势能 零势能点为平衡位置 例2 求例1中系统振动的固有频率。 解2：（能量法） 设重物自初始上升s，各物体速度如图。系统在任一位置的动能： 设系统在静平衡位置时，弹簧伸长量为 s0 。 解1：（通过建振动方程求） 例1已求得标准振动方程： 则系统振动的固有频率为： 则 则系统振动时最大动能： 而速度振幅： ? P Q Q v vC ? ? C O A B s s x x s0 P Q Q ? C O A B F 设系统静平衡位置为0势能点，