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4) 三维实正交群O(3): 所有三维实正交矩阵构成的连续群. 群元由3个实参数标记. 群元满足正交条件 * 第四章 转动群 ■ 连续群(continuous): 群元可由一组独立实参量描述, 其中至少有一个参量在一定区域是连续变化的. 设连续参量的数目为r(1≤r≤n), 记为 r称为该连续群的阶. r个独立实参量的变化区域称为群参数空间 4.1 一些基本概念 连续群G的群元g, 可由r个连续实参量表征, 即 单位元素可用一组零参量来表征, 即 设一个集合G的元素g可由r个实参量来表征, 即 如果g(?)满足下列条件: 1) 集合G中存在一个单位元素e=g (?0), 对任意元素g(?)?G,有 李群 2) 逆元: 对任意?, 存在 , 使 通常取?0={0,0, …, 0} 即对于任意元素g(?)?G,存在逆元素 3) 封闭性: 对于任意两个元素g(?), g(?)?G, 其乘积仍属于G. 即在参数空间中能够找到一个参数?, 使 4) 结合律: 对任意?, ?, ?, 有 ?是?,?的实函数, 即 则连续群G称为李群. 或 5) ?=f(?,?)是?,?的解析函数(连续可微), 是?的解析函数. 称为李群的结合函数. ■ 连通性:如果从连续群的任意一个元素出发, 经过r个参量的连续变化, 可以到达单位元素, 或者说如果连续群中的任意两个元素可以通过r个参量的连续变化连结起来, 则称此连续群是连通的. 这样的李群称为简单李群, 否则称为混合李群. ■ 紧致李群: 如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成, 则称该李群为紧致李群, 否则称为非紧致李群. 1) 所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群. 群参数为群元本身. 结合函数为?=?+?. 一阶非紧致简单李群 ■ 例: 2)空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换 构成一个李群, 群元由三个独立的实参量 表征. 三阶非紧致简单李群. 3) 二维特殊酉群SU(2): 所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群. 即 SU(2)是一个三阶紧致简单李群 其中?,?,?为实参量. 满足条件 SU(2)的群元可写为 或写为 三维实特殊正交群SO(3): 所有行列式为 +1 的3维实正交矩阵构成的连续群, 群元由3个实参数标记. O(3)保持实二次形 不变 SO(3)群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动群,群元为转动矩阵 , 由三个实参量0?? ? ?, 0? ? ? ?, 0? ? 2 ?来表征. 三阶紧致简单李群. 三维实正交群O(3)=SO(3)?{E,I}. 由行列式分别为?1的互不连通的两叶构成, 其参数空间包含两个互不连通的区域, 是三阶紧致混合李群. ■ 空间转动群: 三维实坐标空间R3保持原点不变的所有转动变换构成的群, 对应于特殊实正交矩阵群SO(3). 1) SO(3)群的群元可用绕过原点方位角为(?,?)的转动轴k的转过?角的转动变换Ck(?)表示. 在笛卡尔坐标系中, 绕三个坐标轴x,y,z的转动元素分别为 SO(3)群的参数化: 4.2 转动群SO(3)与二维特殊酉群SU(2) 2) SO(3)群的群元也可用三个欧拉角?,?,?来标记. SO(3)转动元素由相继三个转动变换生成: (1) 绕z轴转?角,0??2?; (2)绕新的y轴(y’轴)转?角, 0????; (3)绕新的z轴(z’’轴)转?角, 0? ?2?. 即 ■ 二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群. 三阶紧致简单李群, 群元由三个实参数表示 或 ■ SU(2)群与SO(3)群的关系: 对于SU(2)中的任意一个元素u?SU(2), 可定义一个三维实坐标 空间中一个变换Ru如下: 为泡利矩阵. 是三个独立二阶零迹厄米矩阵. 定义: 则Ru满足 1) Ru是三维实坐标空间中实正交变换, 即 2) det(Ru)是a,b的连续函数, det(Ru)=1. 则SU(2)中任意一个元素都对应于SO(3)中一个元素Ru 3) 上述映射关系保持乘法规律不变 4) 上述映射关系是SU(2)到SO(3)的同态映射, 即对于SO(3)中任何一个元素, 都能在SU(2)中找到一个元素与之对应. SO(3)中一个元素R(?,?,?), 都能在SU(2)中找到一个元素与之对应, 存在SU(2)群到SO(3)群的同态. 5) 同态核由 组成, 对应SO(3)中单位元素. SU(2)群到SO(3)群的同态映射是二对一的同态, SU(2)中两个元素u,-u对应于SO(3)中同一元素. 4.3 SU(2)群的不可约表示 SU(2)群元是二维复向量空间上的酉变换 有序复数(?,?)是二维复向量空间中