区域复变函数.ppt

练习: 练习: 平面点集与区域: 平面图形的复数表示: 复变函数： 复变函数的极限与连续： 作业： * * 电子工程学院 （1） （2） （3） 第二讲 区域 平面图形的复数表示 复变函数 复变函数的极限与连续 点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内，即 （4）外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点 （1）邻域 （2）去心邻域 （3）内点 （5）边界点 点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点 边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。 （6）开集 点集E中的点全是内点 （7）闭集 开集的余集 空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。 （9）区域 非空的连通开集 （10）有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有 （11）简单曲线、光滑曲线 点集 称为z平面上的一条有向曲线。 则称 D为有界区域。 简单曲线： 简单闭曲线： 光滑曲线： （12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。 没有交叉点。 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。 例1： Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为 Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为 例2： （1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为 （2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为 （3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为 例3： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y = －x。 （2） 设 z = x+ iy, （3） 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角 的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点） （4） 例4： 指出不等式 中点z的轨迹所在范围。 解： 因为 所以 于是有 它表示在圆 外且属于左半平面的所有点的集合 复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做 单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。 定义： 我们主要考虑单值函数 f(z)是单射（或一对一映射） 对于任意 f(z)是满射 f(z)是双射 f(z) 既是单射，又是满射。 例5： 函数的极限 定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域 如果有一确定的数A存在，对于任意给定的 相应地必有一正数 使得当 时有 那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作 几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。 注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。 关于极限的计算，有下面的定理： 定理一 定理二 例6： 证明函数 当z趋于0时的极限不存在。 解法1 令z=x+iy, 则 所以极限不存在。 解法2 利用复数的三角表示式 当z沿着不同的射线 如 极限不存在。 函数的连续 如果 那么f(z)在z0处连续。 如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。 定理： f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y) 在（x0，y0）处连续。 连续函数的四则运算、复合运算都成立。 有界闭区域上的连续函数的最值定理。 例7： 例8： 研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性 因为 故在原点不连续。 不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。 其余地方均连续。 例9： 求证：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。 证明： 由于 所以 z1，z2，z3 位于单位圆上。又 得 即 补充例子 同理可以得到 得证。