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电子信息工程教研室 第五章 变换域分析Analysis of the Transform-Domain §5.1 离散时间傅氏变换 §5.2 Z变换与拉氏变换、傅 氏变换的关系 §5.3 系统的变换域分析 §5.1 离散时间傅氏变换5.1 Discrete Time Fourier Transforms 系统对复指数序列的稳态响应 设输入序列是频率为? 的复指数序列，即 x(n)＝e j? n，??n? 且线性移不变系统的单位冲激响应为h(n)，利用卷 积和 ，得到输出为 可以表示成 离散时间傅氏变换 如果有一序列x(n)，把类似于式(5-2)的形式 正变换式子中的级数收敛条件为 表 5-1 一些常见的DTFT对 例题5-1：求序列 anu(n)，|a|1 的DTFT。 离散时间傅氏变换的对称性 共轭对称序列定义为满足 xe(n)＝xe*(?n) (5-5) 的序列xe(n)，对于实序列，xe(n)＝xe(?n)，即为偶对称序列 (Even)。 共轭反对称序列定义为满足 xo(n)＝?xo*(?n) (5-6) 的序列xo(n)，对于实序列，xo(n)＝?xo(?n)，即为奇对称序列 (Odd)。 任一序列x(n)总能表示成 x(n)＝xe(n)十xo(n) (5-7) 一个序列x(n)的傅氏变换X(e j? )也可以分解成共轭对称与共轭反对称分量之和，即 X(e j? )=Xe(e j? )+Xo(e j? ) (5-9) Xe(e j? )= 1/2[X(e j? )+X*(e -j? )] ， (5-10a) Xo(e j? )= 1/2[X(e j? )?X*(e -j? )] (5-10b) 若x(n)是实序列，则其傅氏变换X(e j? )满足共轭对称性，即 X(e j? )＝X*(e?j? ) (5-11) X*(e j? )＝X(e?j? ) 得出 Re[X(e j? )]＝Re[X(e?j? )] (5-12a) Im[X(e j? )]＝?Im[X(e?j? )] (5-12b) 表示成极坐标形式， 表 5-2 离散时间傅氏变换的主要性质 §5.2 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系5.2 Relations between the Z-Transform and the Laplace Transform,between the Z-T and the Fourier Transform 将上章的式(4-5) 根据式(4-5) 的时域采样， 其拉氏变换为Xc(s)在s域沿j? 轴的周期延拓， (1) r与σ的关系，r＝eσT a. ? ＝0对应于r＝1； b. ? 0对应于r 1； c. ? 0对应于r 1，其映射关系见图5-1 (2) ? 与? 的关系，? ＝? T a. ? ＝0对应于? ＝0； b. ? ＝? 0对应于?＝? 0T； c. ? 由 ?? /T 到 ? /T，对应于?由??到?，见图5-2。 序列的Z变换和傅氏变换之间的关系 4、傅氏变换为拉氏变换在虚轴上的特例，因此采样信号的傅氏变换等于采样信号在虚轴上的拉氏变换。 5、采样信号在虚轴上的拉氏变换等于采样信号在单位圆上的Z变换。 6、由4，5可知，采样信号在单位圆上的Z变换等于采样信号的傅氏变换。即等于其对应的连续时间信号的傅氏变换的周期延拓，周期为2? /T。 §5.3 系统的变换域分析5.3 Analysis of the Transform-Domain of System 若一个系统是线性移不变系统，单位冲激响应为h(n)，则该系统在时域中的输入输出可以用卷积的形式表示为 y