可测函数结构.ppt

第四节 可测函数结构 可测函数 简单函数是可测函数 可测函数总可表示成一列简单函数的极限 （当可测函数有界时，可作到一致收敛） 鲁津定理 鲁津定理的证明 证明：由于mE[|f|=+∞]=0 ，故不妨令f(x)为有限函数 (1) 当f(x)为简单函数时， 对f(x)在F连续的说明 若f(x)在Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则f(x)在 上连续 对f(x)在F连续的说明 鲁津定理的证明 (2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x)， 鲁津定理的证明 则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果 （连续函数类关于四则运算封闭） 注：(1)鲁津定理推论 例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列{fi(x)}使fi(x)→f(x) a.e.于E 对上例的说明（只能作到几乎处处收敛）： 设f(x)是E上a.e.有限的实函数，对δ0，存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数 * * 第四章 可测函数 主讲：胡努春 问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ 可测集E上的连续函数定为可测函数 实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并） 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)ε且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数 （3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列 （2）任一可测函数差不多就是连续函数 当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续， 而Fi为两两不交闭集，故f(x)在 上连续 显然F为闭集，且有 故对任意x`∈O(x, δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f 连续 Fi0 ( ) x 证明：任取 则存在 i0，使得x∈Fi0，f(x)= ci0， 又Fi为两两不交闭集，从而x在开集 中 所以存在δ0, 使得 说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为 内点，从而可取x∈Fi足够小的邻域不含其他Fi 中的点 函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续， 但函数在R上处处不连续 条件Fi为两两不交闭集必不可少，如： 由{φn(x)} 在F连续及一致收敛于f (x) ， 易知f(x)在闭集F上连续。 利用(1)的结果知 (3)当f(x)为一般可测函数时，作变换 鲁津定理（限制定义域） （即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续） （在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数） 若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数， 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)ε（对n维空间也成立） 则 及R上的连续函数g(x) 开集的余集是闭集 闭集的余集是开集 ai bi 直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并 鲁津定理推论证明的说明 鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， 则 使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续 从而 令 ，即得我们所要的结果。 证明：由鲁津定理的推论知 再由Riesz定理，存在{gn(x)} 的子列 {gni(x)} 使gni(x)→f(x) a.e.于E， 说明：若fn→f于R， fn连续，则f的连续点集是R的稠密集 （参见：实变函数，周民强，p-43） 鲁津定理的结论 m (E-F) ε不能加强到m (E-F) =0 （参见：实变函数，周民强，p-116） 虽然我们有 但不存在R上的连续函数列 fn 使得fn→f于E 注：此结论即为 鲁津定理的逆定理 从而 f(x)在 上可测， 进一步 f(x)在 上可测。 证明：由条件知， ，存在闭集 使 且 f(x)在En 连续，当然 f(x)在 En上可测， * * *